2020-新高考I卷-16 填-空间轨迹弧长

本题导读

本题考查直四棱柱的性质。核心在于勾股定理 (截面圆半径计算)、截面法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）16. 已知直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长均为 2，$\angle BAD=60^{\circ }$。以 $D_1$ 为球心，$\sqrt{5}$ 为半径的球面与侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 的交线长为 ________。

🔍【思路分析】

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1. 空间定位：

• 棱长均为 2 且 $\angle BAD=60^{\circ }$，说明底面是两个等边三角形拼成的菱形。
• 特别地，$△A_1{B}_1{D}_1$ 和 $△C_1{B}_1{D}_1$ 都是边长为 2 的等边三角形。

2. 计算球心到平面的距离 $d$：

• 目标侧面是 $BC{C}_1{B}_1$。球心是 $D_1$。

• 在等边 $△D_1{B}_1{C}_1$ 中，取 $B_1{C}_1$ 的中点 $E$，则 $D_{1}E=\sqrt{3}$ 且 $D_{1}E\perp B_1{C}_1$。

• 因为是直四棱柱，$C{C}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，所以 $C{C}_1\perp D_{1}E$。

• 故 $D_{1}E\perp$ 侧面 $BC{C}_1{B}_1$，即点 $D_1$ 到该侧面的距离 $d=\sqrt{3}$。

3. 确定截面圆半径 $r$：

• 根据勾股定理，$r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{2}$。
• 这意味着球面与该侧面所在的无限大平面的交线是一个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。

4. 截取有效弧长：

• 圆心在 $B_1{C}_1$ 的中点 $E$。
• 侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 是一个 $2\times 2$ 的正方形。
• 我们需要判断这个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆在该正方形内部留下的轨迹长度。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$

【解析过程】

1. 确定圆心位置： 截面圆圆心为 $E$（$B_1{C}_1$ 的中点）。
2. 考察圆与正方形边界的关系：

• 侧面高为 2，宽为 2。$E$ 到边界 $B_1,C_1$ 的距离均为 1。
• 截面圆半径 $r=\sqrt{2}>1$，说明圆会超出侧面的左右边界。
• $E$ 到侧面下方边界 $BC$ 的距离为棱长 2。由于 $r=\sqrt{2}<2$，圆不会触碰到底部 $BC$。

3. 计算圆心角：

• 设圆与侧棱 $B{B}_1,C{C}_1$ 的交点分别为 $F,G$。
• 在直角 $△E{B}_{1}F$ 中，$E{B}_1=1,EF=\sqrt{2}$，根据勾股定理 $B_{1}F=1$。
• 故 $△E{B}_{1}F$ 是等腰直角三角形，$\angle B_{1}EF=45^{\circ }$。
• 同理，在另一侧 $\angle C_{1}EG=45^{\circ }$。
• 则圆在正方形内部的圆心角 $\angle FEG=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{2}$）。

4. 计算弧长：

• $L=\alpha \cdot r=\frac{\pi }{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$。

故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 轨迹题的“降维”思想： 将 3D 的球面交线问题，通过求“点面距离”转化为 2D 的平面圆弧长度问题。
• 特殊三角形的敏感度： 看到 $\sqrt{2}$ 和 $1$ 的组合，应立刻联想到 $45^{\circ }$ 角。
• 边界意识： 算出半径后，必须对比侧面的长宽，确认圆弧是“一段”还是“一整圈”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 求距离： 找到定点（球心）到定面（截面）的垂直距离 $d$。
2. 求半径： 利用 $r^2=R^2-d^2$ 得到截面圆半径。
3. 画平面图： 将截面所在的平面单独拎出来，画出图形边界（如本题的正方形）和截面圆。
4. 求弧长/面积： 转化为纯平面几何问题求解。

本题难点： 很多考生能算出 $r=\sqrt{2}$，但容易在圆心角的判定上出错。通过建立局部坐标系或细致的平面几何绘图可以有效规避错误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 1991-全国卷理-23
• 2003-广东卷-17