2020-新高考II卷-07 单-对数函数

本题导读

本题考查复合函数的单调性，以及对数函数的定义域与单调性。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）已知函数 $f(x)=\lg (x^2-4x-5)$ 在 $(a,+\infty )$ 单调递增, 则 $a$ 的取值范围是 ( )

A. $(-\infty ,-1]$　　　　B. $(-\infty ,2]$　　　　C. $[2,+\infty )$　　　　D. $[5,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 求复合函数的定义域，令内层函数大于 0。
2. 利用复合函数单调性“同增异减”规律：外层函数 $y=\lg t$ 在定义域内单调递增，故要求 $f(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 单调递增，只需内层函数 $u=x^2-4x-5$ 在 $(a,+\infty )$ 上单调递增且恒大于 0。
3. 结合二次函数对称轴及定义域约束求解 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

内层函数为 $u=x^2-4x-5=(x-2{)}^2-9$，其对称轴为 $x=2$，开口向上。 内层函数在 $[2,+\infty )$ 上单调递增。 要使 $f(x)=\lg (x^2-4x-5)$ 在 $(a,+\infty )$ 上单调递增， 必须满足区间 $(a,+\infty )$ 是内层函数单调递增区间 $(2,+\infty )$ 的子集，或者在 $(a,+\infty )$ 上真数恒大于 0 且单调递增。 即 $a$ 必须大于或等于二次函数的对称轴 $x=2$，同时保证在 $x>a$ 时真数 $x^2-4x-5>0$（即 $a\ge 5$ 使得整个区间完全在正值区域内）。 具体地：真数大于 0 的解集为 $x<-1$ 或 $x>5$。 因为单调递增区间需包含在定义域内，且在 $(a,+\infty )$ 上单调递增， 内层函数在 $[2,+\infty )$ 递增，若取 $(a,+\infty )$ 递增，则 $a$ 必须大于等于零点 5，使得在 $(a,+\infty )$ 上 $u>0$ 且单调递增。 因此 $a\ge 5$. 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数单调性、二次函数性质、对数定义域。
2. 核心方法：定义域优先原则，内层函数单调区间与给定区间的包含关系。
3. 避坑指南：求单调区间时切记考虑定义域的限制，区间必须完全落在真数大于 0 的范围内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：函数单调性与复合函数性质的高考经典题。
2. 结论推广：研究复合函数单调性必须遵循“定义域先行”的原则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 2001-豫粤卷-09 单-函数的单调性
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域