2020-新高考II卷-22 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于待定系数法、变量代换 / 同构变形的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）已知函数 $f(x)=a{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$。

（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若 $f(x)\ge 1$，求 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第一问：基础切线问题

• 求导得到斜率 $k=f^{\prime }(1)$，结合切点 $(1,f(1))$ 写出直线方程。
• 求出直线与 $x$ 轴、$y$ 轴的截距，利用 $S=\frac{1}{2}|x_{截}||y_{截}|$ 计算面积。

2. 第二问：不等式恒成立（重点）

• 常规思路（分类讨论）： 对 $a$ 进行讨论（$a=1,a>1,0<a<1$）。利用导数求出 $f(x)$ 的最小值，令 $f(x{)}_{min}\ge 1$。
• 高阶思路（同构法）： 观察式子中既有 $e^{x-1}$ 又有 $\ln x$。尝试将式子变形为 $g(\text{式子1})\ge g(\text{式子2})$ 的形式。

✅【答案】

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$a$ 的取值范围是 $[1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 当 $a=e$ 时，$f(x)=e\cdot e^{x-1}-\ln x+\ln e=e^x-\ln x+1$。

1. 求导： $f^{\prime }(x)=e^x-\frac{1}{x}$。
2. 求切线斜率： $k=f^{\prime }(1)=e^1-1=e-1$。
3. 求切点坐标： $f(1)=e^1-\ln 1+1=e+1$。切点为 $(1,e+1)$。
4. 写出切线方程： $y-(e+1)=(e-1)(x-1)⟹y=(e-1)x+2$。
5. 求截距：

• 令 $x=0$ 得 $y=2$，即与 $y$ 轴交点为 $(0,2)$。
• 令 $y=0$ 得 $x=-\frac{2}{e-1}$，即与 $x$ 轴交点为 $(-\frac{2}{e-1},0)$。

6. 计算面积： $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot |-\frac{2}{e-1}|=\frac{2}{e-1}$。

（2）解：(推荐解法：同构法) 原不等式 $a{e}^{x-1}-\ln x+\ln a\ge 1$ 可变形为： $e^{\ln a+x-1}+(\ln a+x-1)\ge \ln x+x$ 注意到等号右侧的 $x=e^{\ln x}$，故原式等价于： $e^{\ln a+x-1}+(\ln a+x-1)\ge e^{\ln x}+\ln x$

1. 构造函数： 令 $g(t)=e^t+t$。 显然 $g(t)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。
2. 转化不等式： 上式可写为 $g(\ln a+x-1)\ge g(\ln x)$。 由于 $g(t)$ 单调递增，得：$\ln a+x-1\ge \ln x$。
3. 分离参数： $\ln a\ge \ln x-x+1$。 若要使上式对于 $x\in (0,+\infty )$ 恒成立，只需 $\ln a\ge (\ln x-x+1{)}_{max}$。
4. 求最值： 设 $h(x)=\ln x-x+1$，则 $h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$。

• 当 $x\in (0,1)$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减。 故 $h(x{)}_{max}=h(1)=\ln 1-1+1=0$。

5. 得出范围： $\ln a\ge 0⟹a\ge 1$。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $[1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 同构法的威力： 在处理“指数与对数齐飞”的压轴题时，同构法能将导数讨论的繁琐过程（如零点存在性、隐零点代换）大幅简化。常见的同构模型有 $x{e}^x$ 型、$e^x-ax$ 型和本题的 $e^x+x$ 型。
• 分类讨论的严谨性： 如果使用解法一（分类讨论），必须注意 $0<a<1$ 时 $f(1)=a+\ln a$ 的符号判定，以及 $a>1$ 时最小值大于 1 的严密证明。
• 得分策略： 第一问必须全取。第二问如果想不到同构，应先尝试特殊值 $a=1$ 探路，拿稳基础分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-21 解-利用导数研究函数的单调性与最值
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性