2020-江苏卷-07 填-指数幂运算

本题导读

本题考查奇函数的定义与性质 = -f

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）7. 已知 $y=f(x)$ 是奇函数，当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$，则 $f(-8)$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用奇函数性质： 因为 $f(x)$ 是奇函数，根据定义有 $f(-8)=-f(8)$。这意味着我们只需要求出正半轴上的 $f(8)$ 即可。

2. 计算正半轴函数值： 将 $x=8$ 代入已知解析式 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$。

3. 指数幂运算技巧： $x^{\frac{2}{3}}$ 可以理解为 $\sqrt[3]{x^2}$ 或者 $(\sqrt[3]{x}{)}^2$。通常先开方再平方计算量更小。

✅【答案】

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$-4$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-4$

【解析过程】

1. 求 $f(8)$： 当 $x=8$ 时，$x>0$，代入解析式： $f(8)=8^{\frac{2}{3}}$ $f(8)=(8^{\frac{1}{3}}{)}^2$ $f(8)=2^2=4$

2. 利用奇偶性求 $f(-8)$： 因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-8)=-f(8)$。 代入计算结果：$f(-8)=-4$。

故答案为：$-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心定义： * 奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图象关于原点对称。
  • 偶函数：$f(-x)=f(x)$，图象关于 $y$ 轴对称。
• 计算陷阱： 很多同学在计算 $8^{\frac{2}{3}}$ 时容易卡壳。记住 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$。对于 8 这种特殊的立方数，化为底数为 2 的幂再计算最稳：$8^{\frac{2}{3}}=(2^3{)}^{\frac{2}{3}}=2^{3\times \frac{2}{3}}=2^2=4$。
• 易错点： 漏掉奇函数的负号，算成 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目将 $f(x)$ 改为偶函数，则 $f(-8)=f(8)=4$。 如果题目要求 $f(x)$ 在 $x<0$ 时的解析式，则： 设 $x<0$，则 $-x>0$。 $f(-x)=(-x{)}^{\frac{2}{3}}$。 又 $f(-x)=-f(x)$，所以 $-f(x)=(-x{)}^{\frac{2}{3}}$。 即 $f(x)=-(-x{)}^{\frac{2}{3}}$ ($x<0$)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-天津-01(3)
• 1977-江苏卷-01(1)
• 1978-全国卷-01(5)