2020-江苏卷-13 填-分类讨论

本题导读

本题考查向量共线定理，以及向量的线性运算。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）13. 在 $△ABC$ 中，$AB=4,AC=3,\angle BAC=90^{\circ }$，$D$ 在边 $BC$ 上，延长 $AD$ 到 $P$，使得 $AP=9$。若 $\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{PB}+(\frac{3}{2}-m)\overrightarrow{PC}$（$m$ 为常数），则 $CD$ 的长度是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量系数的奥秘： 已知 $\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{PB}+(\frac{3}{2}-m)\overrightarrow{PC}$。 观察系数和：$m+(\frac{3}{2}-m)=\frac{3}{2}$。 根据三点共线定理，如果 $\overrightarrow{PX}=\lambda \overrightarrow{PB}+(1-\lambda )\overrightarrow{PC}$，则 $X$ 在直线 $BC$ 上。这里系数和不为 1，说明 $A$ 不在 $BC$ 上（显而易见），但我们可以通过缩放找到 $BC$ 上的点。

2. 确定 $D$ 点位置： 设 $\overrightarrow{PD}=k\overrightarrow{PA}$。由于 $D$ 在直线 $BC$ 上，代入原式： $\overrightarrow{PA}=\frac{3}{2}[\frac{2m}{3}\overrightarrow{PB}+\frac{2(3/2-m)}{3}\overrightarrow{PC}]$ 括号内系数和为 1，说明括号内的向量指向 $BC$ 上的点，而这个点又是 $PA$ 延长线与 $BC$ 的交点，即点 $D$。 由此可得 $\overrightarrow{PA}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD}$，从而确定 $AD$ 的长度。

3. 计算 $CD$ 长度：

• 在 $Rt△ABC$ 中，$BC=5$。
• 已知 $AD,AB,AC$，在 $△ABD$ 和 $△ACD$ 中利用余弦定理（或斯特瓦尔特定理）求出 $CD$。

✅【答案】

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$\frac{18}{5}$ 或 $0$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{18}{5}$ 或 $0$

【解析过程】

1. 分析向量关系： 由 $\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{PB}+(\frac{3}{2}-m)\overrightarrow{PC}$，设 $\overrightarrow{PD}=t\overrightarrow{PA}$。 则 $\overrightarrow{PD}=tm\overrightarrow{PB}+t(\frac{3}{2}-m)\overrightarrow{PC}$。 因为 $B,D,C$ 三点共线，所以系数和 $tm+t(\frac{3}{2}-m)=1$。 解得 $\frac{3}{2}t=1⟹t=\frac{2}{3}$。 即 $\overrightarrow{PD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PA}$，意味着 $D$ 是线段 $PA$ 上靠近 $A$ 的三等分点。

2. 求 $AD$ 长度： 因为 $AP=9$，且 $D$ 在 $AP$ 上（$AD=AP-PD$）， $PD=\frac{2}{3}\times 9=6$，所以 $AD=9-6=3$。

3. 求 $CD$ 长度（几何计算）： 在 $Rt△ABC$ 中，$AB=4,AC=3$，则 $BC=5$。 设 $CD=x$，则 $BD=5-x$。 在 $△ACD$ 中，由余弦定理：$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2AC\cdot BC}=\frac{3^2+5^2-4^2}{2\times 3\times 5}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$。 在 $△ACD$ 中再次使用余弦定理： $A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2-2AC\cdot CD\cos C$ $3^2=3^2+x^2-2\times 3\times x\times \frac{3}{5}$ $0=x^2-\frac{18}{5}x$ 解得 $x=\frac{18}{5}$ 或 $x=0$。

4. 分类讨论确认：

• 当 $x=\frac{18}{5}$ 时，点 $D$ 在边 $BC$ 上，符合题意。
• 当 $x=0$ 时，点 $D$ 与 $C$ 重合，此时 $\overrightarrow{PA}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PC}$，即 $m=0$，符合条件 $D$ 在边 $BC$ 上（端点）。

故答案为：$\frac{18}{5}$ 或 $0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 向量共线结论的变形： $\vec{P}=\alpha \vec{A}+\beta \vec{B}$，若 $\alpha +\beta =k$，则点 $P$ 落在直线 $AB$ 的“缩放线”上。在本题中，$k=3/2$ 直接锁定了 $AD:DP$ 的比例。
• 余弦定理的两次运用： 这种通过大三角形求角、小三角形求边的做法是解三角形题目的标准模版。
• 细节失分点： $x=0$ 是一个极易被忽略的特例。在江苏卷填空题中，如果漏掉一个解，通常该题直接判为 0 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目将 $\angle BAC$ 改为 $60^{\circ }$ 而不是直角，解法依然一致，只是在求 $\cos C$ 时步骤会稍复杂。 这类题目体现了向量作为几何连接桥梁的作用：先用向量定位置（比值），再用几何定数值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角
• 2008-湖南卷理-07
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形