2020-江苏卷-14 填-导数最值

本题导读

本题考查圆的垂径定理。核心在于几何建模法、函数极值法 (导数法)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）14. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $P(\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$A,B$ 是圆 $C:x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2=36$ 上的两个动点，满足 $PA=PB$，则 $△PAB$ 面积的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何特征提取：

• 圆的信息： 圆心 $C(0,\frac{1}{2})$，半径 $R=6$。

• 点 $P$ 的位置： 计算 $|PC|=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}-0{)}^2+(0-\frac{1}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$。由于 $1<6$，点 $P$ 在圆内。

• 对称性： 因为 $PA=PB$，根据垂径定理的逆定理，$PC$ 所在的直线必然垂直平分弦 $AB$。设垂足（即 $AB$ 与 $PC$ 的交点）为 $H$。

2. 建立面积函数： 设圆心 $C$ 到弦 $AB$ 的距离为 $d$ ($0\le d<6$)。

• 底边： $|AB|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{36-d^2}$。
• 高： $△PAB$ 的高 $h$ 是点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离。根据 $P,C,H$ 三点共线可知，$h=|PH|$。
  • 注意到 $h$ 的取值受 $P$ 点位置影响，最大面积一定出现在 $H$ 在 $PC$ 延长线上时，$h=d+|PC|=d+1$。

3. 求最值： 面积 $S(d)=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot (d+1)=(d+1)\sqrt{36-d^2}$。 通过求导找到该函数在 $[0,6)$ 上的最大值点。

✅【答案】

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$10\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $10\sqrt{5}$

【解析过程】

1. 建立函数： 由几何关系知，当 $△PAB$ 面积最大时，$AB\perp PC$。 设圆心 $C$ 到 $AB$ 的距离为 $d$。由垂径定理得 $|AB|=2\sqrt{36-d^2}$。 三角形的高 $h=d+|PC|=d+1$。 则 $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{36-d^2}\cdot (d+1)=(d+1)\sqrt{36-d^2}$。

2. 平方简化： 为方便计算，令 $f(d)=S^2=(d+1{)}^2(36-d^2)$，其中 $0\le d<6$。

3. 求导寻极值： $f^{\prime }(d)=2(d+1)(36-d^2)+(d+1{)}^2(-2d)$ $f^{\prime }(d)=2(d+1)[(36-d^2)-d(d+1)]$ $f^{\prime }(d)=2(d+1)(36-d^2-d^2-d)$ $f^{\prime }(d)=2(d+1)(-2d^2-d+36)$ 令 $f^{\prime }(d)=0$，得 $2d^2+d-36=0$。 解方程：$(2d+9)(d-4)=0$。 因为 $d\ge 0$，所以 $d=4$。

4. 判定并代入： 当 $0\le d<4$ 时，$f^{\prime }(d)>0$，函数递增；当 $4<d<6$ 时，$f^{\prime }(d)<0$，函数递减。 所以当 $d=4$ 时，$S$ 取得最大值： $S_{max}=(4+1)\sqrt{36-4^2}=5\sqrt{20}=5\cdot 2\sqrt{5}=10\sqrt{5}$。

故答案为：$10\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 变量选择： 面对圆的弦长问题，以“弦心距 $d$”作为自变量通常比使用角度或斜率更容易列出简洁的代数式。
• 辅助线灵魂： $PA=PB$ 是暗示 $PC\perp AB$ 的“题眼”，联结 $PC$ 是解决本题的突破口。
• 计算技巧： 在求含有根号的函数最值时，如果根号内外的项均为正，对面积的平方求导可以省去处理根式的麻烦，极大提高运算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果点 $P$ 在圆外（例如距离 $|PC|=8$），那么 $△PAB$ 的高 $h$ 是否依然是 $d+1$？ 此时点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离变为 $h=|d-8|$ 或 $h=|d+8|$。但在实际作图中，若要形成三角形且面积最大，高依然会趋向于远离圆心的一侧。 这类问题体现了函数思想在解决动态几何问题中的强大威力。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-08
• 2009-上海卷理-09
• 2013-湖南卷理-11 填-相交弦定理