2020-江苏卷-16 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边角转化法、角度代换法 ($\angle DAC=\pi -(\angle ADC+C)$)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）16. 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a=3,c=\sqrt{2},B=45^{\circ }$。

（1）求 $\sin C$ 的值；

（2）在边 $BC$ 上取一点 $D$，使得 $\cos \angle ADC=-\frac{4}{5}$，求 $\tan \angle DAC$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）求 $\sin C$：

• 第一步（求边）： 已知两边及其夹角 ($a,c,B$)，首选余弦定理算出第三边 $b$。

• 第二步（求角）： 已知三边及一角，利用正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 即可求得 $\sin C$。

（2）求 $\tan \angle DAC$：

• 角度关联： 在 $△ADC$ 中，$\angle DAC+\angle ADC+C=180^{\circ }$。
• 目标转化： 欲求 $\tan \angle DAC$，需先求出 $\sin \angle DAC$ 和 $\cos \angle DAC$。
  • $\sin \angle DAC=\sin (180^{\circ }-(\angle ADC+C))=\sin (\angle ADC+C)$。
• 关键值计算： 1. 由 $\cos \angle ADC=-4/5$ 算出 $\sin \angle ADC$。 2. 由第一问的 $\sin C$ 算出 $\cos C$（注意判定 $C$ 为锐角）。 3. 利用和角公式求出 $\angle DAC$ 的三角函数值。

✅【答案】

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$b=\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\sin C$ 的值

1. 由余弦定理求 $b$： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ $b^2=3^2+(\sqrt{2}{)}^2-2\times 3\times \sqrt{2}\times \cos 45^{\circ }$ $b^2=9+2-2\times 3\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=11-6=5$。 所以 $b=\sqrt{5}$。

2. 由正弦定理求 $\sin C$： $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}⟹\sin C=\frac{c\sin B}{b}$ $\sin C=\frac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

（2）求 $\tan \angle DAC$ 的值

1. 求 $△ADC$ 内部角的三角函数值：

• 因为 $\cos \angle ADC=-\frac{4}{5}<0$，所以 $\angle ADC$ 为钝角。 $\sin \angle ADC=\sqrt{1-(-\frac{4}{5}{)}^2}=\frac{3}{5}$。

• 因为 $a=3,b=\sqrt{5},c=\sqrt{2}$，由于 $a^2>b^2+c^2$ ($9>5+2$)，角 $A$ 为钝角，则角 $C$ 必为锐角。 $\cos C=\sqrt{1-{\sin }^{2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

2. 计算 $\sin \angle DAC$： $\sin \angle DAC=\sin [180^{\circ }-(\angle ADC+C)]=\sin (\angle ADC+C)$ $\sin \angle DAC=\sin \angle ADC\cos C+\cos \angle ADC\sin C$ $\sin \angle DAC=\frac{3}{5}\times \frac{2\sqrt{5}}{5}+(-\frac{4}{5})\times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}-4\sqrt{5}}{25}=\frac{2\sqrt{5}}{25}$。

3. 计算 $\cos \angle DAC$： 在 $△ADC$ 中，$\cos \angle DAC=\sqrt{1-(\frac{2\sqrt{5}}{25}{)}^2}=\sqrt{\frac{625-20}{625}}=\frac{\sqrt{605}}{25}=\frac{11\sqrt{5}}{25}$。 (注：由图可知 $\angle DAC$ 显然为锐角，余弦值为正)

4. 求正切值： $\tan \angle DAC=\frac{\sin \angle DAC}{\cos \angle DAC}=\frac{2\sqrt{5}}{25}÷\frac{11\sqrt{5}}{25}=\frac{2}{11}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 大题步骤的严谨性： 在求 $\cos C$ 时，必须交代 $C\in (0,\frac{\pi }{2})$ 的理由（如通过边长关系判定）。
• 计算技巧： 在（2）中，也可以先求 $\tan C=1/2$ 和 $\tan \angle ADC=-3/4$，然后利用 $\angle DAC=180^{\circ }-(\angle ADC+C)$，通过正切和角公式 $\tan (A+B)$ 直接求解，运算量可能更小。
• 易错点： 混淆 $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$ 与 $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 $△ABC$ 中：

1. 正弦值： $0<\sin A<1$ 恒成立。
2. 余弦值： $\cos A>0⟺$ 锐角；$\cos A<0⟺$ 钝角。
3. 边角关系： “大边对大角”是检查计算结果是否合理的最快方法。本题中 $a>b>c$，所以对应的角 $A>B>C$。我们算出的 $\sin C=\sqrt{5}/5$ 约等于 0.44，而 $\sin B=\sqrt{2}/2$ 约等于 0.707，符合 $C<B$ 的逻辑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2008-重庆卷理-17