2020-浙江卷-10 单-集合子集

本题导读

本题考查新定义集合运算规则。核心在于特殊值排除法 (赋值法)、递推归纳法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）10. 设集合 $S,T\subseteq {\mathbf{N}}^{\ast }$，$S,T$ 中至少有两个元素，且满足：

① 对于任意 $x,y\in S$，若 $x\ne y$，都有 $xy\in T$；

② 对于任意 $x,y\in T$，若 $x<y$，则 $\frac{y}{x}\in S$。

下列命题正确的是（ ）

A. 若 $S$ 有 4 个元素，则 $S\cup T$ 有 7 个元素

B. 若 $S$ 有 4 个元素，则 $S\cup T$ 有 6 个元素

C. 若 $S$ 有 3 个元素，则 $S\cup T$ 有 5 个元素

D. 若 $S$ 有 3 个元素，则 $S\cup T$ 有 4 个元素

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找数学模型：

规则 ② 提到 $\frac{y}{x}\in S$，这暗示集合 $S$ 和 $T$ 的元素很可能构成等比数列。

设 $S$ 的元素形如 $\{q^{a_1},q^{a_2},\dots ,q^{a_k}\}$。

2. 尝试构造模型（解题捷径）：

• 尝试 $S$ 有 3 个元素的情况：

设 $S=\{2,4,8\}$（即 $\{2^1,2^2,2^3\}$）。

根据规则 ①，$T$ 包含 $2\times 4=8,2\times 8=16,4\times 8=32$。即 $T=\{8,16,32\}$。

检查规则 ②：$16/8=2\in S,32/16=2\in S,32/8=4\in S$。满足！

此时 $S\cup T=\{2,4,8,16,32\}$，共 5 个元素。

由此可判定 C 正确，D 错误？（注意：浙江卷多选或干扰项常设此类陷阱，需进一步检查 A, B）

3. 尝试 $S$ 有 4 个元素的情况：

设 $S=\{2^1,2^2,2^3,2^4\}=\{2,4,8,16\}$。

根据规则 ①，$T$ 包含两两相乘的结果：

$2\times 4=8,2\times 8=16,2\times 16=32,4\times 8=32,4\times 16=64,8\times 16=128$。

即 $T=\{8,16,32,64,128\}$。

此时 $S\cup T=\{2,4,8,16,32,64,128\}$。

数一下：$1,2,3,4,5,6,7$。共 7 个元素。

由此判定 A 可能正确，B 错误。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 深度逻辑推导：

设 $S=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ 且 $a_1<a_2<a_3<a_4$。

根据条件 ②，若 $T$ 中有 $x<y$，则 $y/x\in S$。

通过连续的比值关系可以证明 $S$ 必为等比数列。

设 $S=\{q,q^2,q^3,q^4\}$（其中 $q\ge 2,q\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

2. 确定 $T$ 的元素：

两两相乘 $q^i\cdot q^j(i\ne j)$：

$1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7$。

指数集为 $\{3,4,5,6,7\}$。

故 $T=\{q^3,q^4,q^5,q^6,q^7\}$。

3. 求并集 $S\cup T$：

$S\cup T=\{q,q^2,q^3,q^4\}\cup \{q^3,q^4,q^5,q^6,q^7\}$。

合并重复项 $q^3,q^4$。

并集元素为 $\{q^1,q^2,q^3,q^4,q^5,q^6,q^7\}$。

元素个数为 7。

4. 反思 C 选项为何错：

若 $S=\{1,2,4\}$，则 $T=\{2,4,8\}$。

$S\cup T=\{1,2,4,8\}$，只有 4 个元素。

这说明 $S$ 有 3 个元素时，$S\cup T$ 的个数是不确定的（取决于 $1$ 是否在 $S$ 中）。

但题目问的是“下列命题正确的是”，A 选项在 $a_1=1$ 或 $a_1>1$ 的讨论中展现了更强的普适性（通常压轴题选取的是结构更稳定的结论）。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 新定义的翻译： “乘积在 $T$ 中”且“商在 $S$ 中”，这种结构几乎锁定了等比数列。

• 特殊值的选取： $S=\{1,2,4\}$ 和 $S=\{2,4,8\}$ 是测试此类集合题最常用的两组数。

• 互异性： 集合求并集时，千万不要忘记去掉重复元素（如本题中的 $q^3,q^4$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 读懂规则： 确定是加减运算（对应等差）还是乘除运算（对应等比）。

2. 最小模型： 先用 2 或 3 个元素尝试，摸清 $S$ 和 $T$ 的交互规律。

3. 验证选项： 用构造出的模型逐个验证。如果有多个选项看起来都对，检查边界条件（如 $1$ 是否属于集合）。

快速求解： 脑内构造 $S=\{2,4,8,16\}\to T=\{8,16,32,64,128\}$。

并集里，$S$ 贡献了 2, 4, 8, 16，$T$ 贡献了 8, 16, 32, 64, 128。

重叠了 8 和 16，所以总数是 $4+5-2=7$。

直接选 A。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷理-08 单-集合的交集运算

• 2006-上海卷理-01 填-集合元素的互异性

• 2006-山东卷理-01 单-集合元素的互异性