2020-浙江卷-19 解-解三角形

本题导读

本题考查面面垂直的性质定理。核心在于辅助线法 (作高线)、几何法 (找垂足与射影)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）19. 如图，三棱台 $A B C - D E F$ 中，平面 $A C F D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = 4 5^{\circ}$ ， $D C = 2 B C$ 。

（Ⅰ）证明： $E F ⊥ D B$ ；

（Ⅱ）求 $D F$ 与平面 $D B C$ 所成角的正弦值。

🔍【思路分析】

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（Ⅰ）垂直证明思路：

关键转换： 在棱台中， $E F // B C$ 。要证 $E F ⊥ D B$ ，只需证 $B C ⊥ D B$ 。

找高线： 利用平面 $A C F D ⊥$ 平面 $A B C$ ，在侧面内作 $D H ⊥ A C$ ，则 $D H ⊥$ 底面 $A B C$ 。

计算： 在 $△ C B H$ 中，利用余弦定理判定 $B C ⊥ B H$ 。

综合： 既然 $B C$ 同时垂直于 $D H$ 和 $B H$ ，则 $B C ⊥$ 平面 $B H D$ ，从而 $B C ⊥ B D$ 。

（Ⅱ）线面角计算思路：

等角转换： 在三棱台侧面 $A C F D$ 中， $D F // A C$ 。因此 $D F$ 与平面 $D B C$ 的夹角等于 $A C$ 与平面 $D B C$ 的夹角。

找垂点： 第一问已证平面 $B H D ⊥$ 平面 $D B C$ 。在平面 $B H D$ 内作 $H G ⊥ B D$ ，则 $H G ⊥$ 平面 $D B C$ 。

正弦值： $sin θ = \frac{H G}{C H}$ 。在直角三角形中求出对应线段长度比值即可。

✅【答案】

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$\frac{3}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在平面 $A C F D$ 内，作 $D H ⊥ A C$ 于点 $H$ 。

因为平面 $A C F D ⊥$ 平面 $A B C$ ，交线为 $A C$ ，所以 $D H ⊥$ 平面 $A B C$ 。

又 $B C \subset$ 平面 $A B C$ ，所以 $D H ⊥ B C$ 。

在 $R t △ D C H$ 中， $∠ A C D = 4 5^{\circ}$ ，设 $B C = a$ ，则 $D C = 2 a$ 。

$D H = D C \cdot sin 4 5^{\circ} = 2 a$

$C H = D C \cdot cos 4 5^{\circ} = 2 a$

在 $△ C B H$ 中， $∠ A C B = 4 5^{\circ}, B C = a, C H = 2 a$ 。

由余弦定理得： $B H^{2} = a^{2} + (2 a)^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 a \cdot cos 4 5^{\circ} = a^{2} + 2 a^{2} - 2 a^{2} = a^{2}$ 。

由于 $B C^{2} + B H^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = C H^{2}$ ，所以 $B H ⊥ B C$ 。

因为 $B C ⊥ D H$ ， $B C ⊥ B H$ ，且 $D H \cap B H = H$ ，所以 $B C ⊥$ 平面 $B H D$ 。

又 $B D \subset$ 平面 $B H D$ ，故 $B C ⊥ B D$ 。

棱台中 $E F // B C$ ，所以 $E F ⊥ D B$ 。

由棱台定义知侧面 $A C F D$ 为梯形，且 $D F // A C$ 。

故 $D F$ 与平面 $D B C$ 所成角即为 $C H$ 与平面 $D B C$ 所成角。

由（Ⅰ）知 $B C ⊥$ 平面 $B H D$ ，而 $B C \subset$ 平面 $D B C$ ，

故 平面 $D B C ⊥$ 平面 $B H D$ ，交线为 $B D$ 。

在平面 $B H D$ 内，作 $H G ⊥ B D$ 于 $G$ ，则 $H G ⊥$ 平面 $D B C$ 。

连接 $C G$ ，则 $∠ H C G$ 为 $C H$ 与平面 $D B C$ 所成的角。

在 $R t △ B H D$ 中， $B H = a, D H = 2 a, B D = B H^{2} + D H^{2} = 3 a$ 。

$H G = \frac{B H \cdot D H}{B D} = \frac{a \cdot 2 a}{3 a} = \frac{6}{3} a$ 。

在 $R t △ H GC$ 中， $sin ∠ H C G = \frac{H G}{C H} = \frac{\frac{6}{3} a}{2 a} = \frac{3}{3}$ 。

所以 $D F$ 与平面 $D B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{3}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

几何法的精髓： 找线面角时，核心是找“垂线”。本题通过面面垂直关系直接锁定垂足 $G$ 在交线上，避开了复杂的建系运算。

数据敏感性： 看到 $2$ 倍关系和 $4 5^{\circ}$ 角，应立刻反应出等腰直角三角形。

三棱台的性质： 容易被忽略的条件是 $D F // A C$ ，这是连接侧面直线与底面关系的桥梁。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果在考场上找不出 $H G ⊥$ 平面 $D B C$ ，可以尝试建系：

以 $H$ 为原点， $H B, H C, H D$ 分别为 $x, y, z$ 轴建立坐标系。

写出 $B (a, 0, 0), C (0, 2 a, 0), D (0, 0, 2 a)$ 坐标。

求平面 $D B C$ 的法向量 $n$ 。

利用 $sin θ = \frac{∣ D F \cdot n ∣}{∣ D F ∣∣ n ∣}$ 计算。

（通常对于这种垂直关系明显的题目，几何法计算量更小）

解题要点： 第一问重点在 $B C ⊥ B H$ 。第二问转化到 $C H$ 后，利用直角三角形面积公式求高 $H G$ ，直接出正弦值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

2004-全国卷II理-16 填-空间线面垂直

2004-全国卷III理-20 解-面面垂直的性质定理

2005-全国卷III理-18 解-面面垂直的性质定理

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2020-浙江卷-19 解-解三角形

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