2021-上海卷-03 填-圆的方程

本题导读

本题考查圆的一般方程，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）3. 若 $x^2+y^2-2x-4y=0$，则圆心坐标为 ___________．

方法一：配方法（通用逻辑） 将关于 $x$ 和 $y$ 的项分别配方，化为标准形式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，其中 $(a,b)$ 即为圆心坐标。

方法二：公式法（快速提取） 对于圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$：

• 圆心坐标为 $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$
• 半径 $r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$（需满足 $D^2+E^2-4F>0$）

🔍【思路分析】

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$(1,2)$

✅【答案】

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$(1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

方式一（配方法）： 将原方程进行配方： $(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=1+4$ 整理得： $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ 由圆的标准方程可知，圆心坐标为 $(1,2)$。

方式二（公式法）： 对比一般方程，可知 $D=-2,E=-4,F=0$。 圆心横坐标 $a=-\frac{-2}{2}=1$； 圆心纵坐标 $b=-\frac{-4}{2}=2$。 所以圆心坐标为 $(1,2)$。

故答案为：$(1,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 配方的技巧： 配方时注意等式两边要同时加上常数项，虽然本题只求圆心（不涉及半径），但养成严谨的配方习惯对处理圆与直线位置关系等综合题至关重要。

• 一般项系数： 使用公式法前，务必确认 $x^2$ 和 $y^2$ 的系数已经化为 $1$。

在上海卷的后续题目中，如果方程中含有参数（如 $x^2+y^2-2x-4y+m=0$），题目要求“该方程表示一个圆”，则必须满足： $D^2+E^2-4F>0$ 如果该式等于 $0$，则方程表示一个点 $(1,2)$；如果该式小于 $0$，则方程不表示任何图形。这是一个常见的填空题陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-09 单-圆的标准方程与一般方程
• 1977-福建卷-04
• 2004-重庆理-03 单-圆的一般方程与标准方程的转化