2021-上海卷-05 填-反函数

本题导读

本题考查反函数的定义，以及反函数与原函数的关系。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）5. 已知 $f(x)=\frac{3}{x}+2$，则 $f^{-1}(1)=$ ___________．

核心逻辑： 若点 $(a,b)$ 在原函数 $f(x)$ 的图像上，则点 $(b,a)$ 必在反函数 $f^{-1}(x)$ 的图像上。 因此，求 $f^{-1}(1)=m$，等价于求满足 $f(m)=1$ 的 $m$ 值。

解题步骤：

1. 设 $f^{-1}(1)=x$。
2. 根据反函数定义，得到 $f(x)=1$。
3. 代入原函数解析式，解关于 $x$ 的方程。

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$-3$

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

令 $f^{-1}(1)=x$，则有 $f(x)=1$。 代入 $f(x)=\frac{3}{x}+2$ 得到： $\frac{3}{x}+2=1$ 移项得： $\frac{3}{x}=-1$ 解得： $x=-3$ 经检验，$x=-3$ 在原函数定义域 $\{x\mid x\ne 0\}$ 内。 所以 $f^{-1}(1)=-3$。

故答案为：$-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 避开解析式陷阱： 很多同学习惯先求出 $f^{-1}(x)$ 的解析式再代入求值，虽然可行，但在上海卷这种时间紧凑的考试中，直接解方程（逆映射）能节省约一半的时间。

• 定义域与值域： 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。在处理更复杂的反函数问题（如含参或分段函数）时，务必先确定定义域。

反函数与原函数关于直线 $y=x$ 对称。这一性质在上海卷的压轴选择填空题中经常出现：

1. 交点规律： 如果原函数 $f(x)$ 是增函数，且与反函数 $f^{-1}(x)$ 有交点，则交点一定落在直线 $y=x$ 上。
2. 性质遗传： 如果原函数在其定义域内单调递增，其反函数也一定在其定义域内单调递增。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-02 填-反函数

• 1985-广东文-17 单-反函数的求解
• 1984-全国文-02 单-反函数图象的对称性