2021-上海卷-06 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）6. 已知二项式 $(x+a{)}^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数为 $80$，则 $a=$ ___________．

核心公式： 二项式 $(a+b{)}^n$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_n^r\cdot a^{n-r}\cdot b^r$ 在本题 $(x+a{)}^5$ 中，通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{5-r}\cdot a^r$

解题步骤：

1. 确定 $r$ 值： 令 $x$ 的幂次 $5-r=2$，求出 $r$。
2. 提取系数： 根据 $r$ 值写出该项的系数表达式（包含 $C_5^r$ 和 $a^r$）。
3. 建立方程： 令系数等于 $80$，解出 $a$。

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$2$

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 $(x+a{)}^5$ 展开式的通项为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{5-r}\cdot a^r$ 令 $5-r=2$，解得 $r=3$。 此时对应的项为 $T_4=C_5^3\cdot x^2\cdot a^3$。 根据题意，$x^2$ 的系数为 $80$，则有： $C_5^3\cdot a^3=80$ 计算组合数 $C_5^3=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$。 代入方程： $10\cdot a^3=80$ a^3 = 8$ $ 解得： a = 2$$

故答案为：$2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通项公式的项数： 注意通项公式是第 $r+1$ 项，而 $x$ 的幂次由题目要求决定。
• 组合数性质： 利用 $C_n^r=C_n^{n-r}$ 可以简化计算（如 $C_5^3$ 转化为 $C_5^2$）。
• 易错点： 注意 $a$ 的幂次。如果二项式是 $(ax+b{)}^n$，系数中还会包含 $a^{n-r}$，需小心合并。

在上海卷中，经常会辨析两个容易混淆的概念：

1. 二项式系数： 指的是 $C_n^r$，它只与 $n$ 和 $r$ 有关，与括号内的 $x$ 或 $a$ 无关。其最大值通常在中间项取得。
2. 项的系数： 指的是该项中除变量（如 $x$）以外的所有常数部分，如本题中的 $C_5^3\cdot a^3$。

常用结论（赋值法）：

• 所有项系数之和： 令 $x=1$ 即可求得。
• 常数项： 令变量的幂次为 $0$ 或在含 $x$ 与 $\frac{1}{x}$ 的式子中寻找相互抵消的项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1988-全国卷理-05 单-二项式定理的指定项系数
• 1990-上海卷-08 填-二项式展开的系数