2021-上海卷-10 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及组合计数原理。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）10. 甲、乙两人在花博会的 A、B、C、D 四个不同展馆中各选 $2$ 个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为 ___________．

1. 确定样本空间总数 $N$： 甲从 $4$ 个馆中选 $2$ 个，有 $C_4^2$ 种选法； 乙从 $4$ 个馆中选 $2$ 个，有 $C_4^2$ 种选法。 两人独立选择，总选法 $N=C_4^2\times C_4^2$。

2. 确定符合条件（恰有一个相同）的选法数 $M$： 可以采取“分步计数”策略：

• 第一步：甲先选，无论甲怎么选，都有 $C_4^2=6$ 种方式。
• 第二步：为了让乙与甲“恰有一个馆相同”，乙的选择必须满足：
  • 从甲选出的 $2$ 个馆中选出 $1$ 个（相同馆）；
  • 从甲未选出的 $2$ 个馆中选出 $1$ 个（不同馆）。
• 符合条件的选法 $M=C_4^2\times (C_2^1\times C_2^1)$。

3. 计算概率 $P$： $P=\frac{M}{N}$。

🔍【思路分析】

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$23$

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总情况数 甲、乙两人各自选择的方案总数为： $N=C_4^2\times C_4^2=6\times 6=36$

第二步：计算“恰有一个相同”的情况数 我们先固定甲的选择（甲选哪两个都不影响乙的符合比例）： 设甲选择了 $\{A,B\}$。 乙要满足“恰有一个馆相同”，则乙必须：

1. 在 $\{A,B\}$ 中选一个，有 $C_2^1=2$ 种选法；
2. 在剩余的 $\{C,D\}$ 中选一个，有 $C_2^1=2$ 种选法。 所以，对应甲的每一种选法，乙都有 $2\times 2=4$ 种选法。 符合条件的总数 $M=6\times 4=24$。

第三步：计算概率 $P=\frac{M}{N}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$

故答案为：$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• “恰好”问题的逻辑： 在处理“恰有 $k$ 个相同”时，一定要保证“选出的相同”和“选出的不同”两步同时到位，不能漏掉对“剩余元素”的筛选。
• 计算技巧： 本题也可以从乙的角度看：甲选完后，乙的选择情况分为：$0$个相同、$1$个相同、$2$个相同。
  • $0$个相同：乙从甲未选的 $2$ 个里选 $2$ 个，$C_2^2=1$ 种。
  • $2$个相同：乙从甲已选的 $2$ 个里选 $2$ 个，$C_2^2=1$ 种。
  • $1$个相同：剩余情况 $6-1-1=4$ 种。 概率为 $4/6=2/3$。这种对比法能快速校验答案。

如果我们把甲选中的两个馆看作“特殊元素”，乙的选择过程就演变成了从 $4$ 个元素（$2$个特殊，$2$个普通）中任取 $2$ 个的过程。 设乙选中的相同馆数为 $X$，则 $X$ 服从参数为 $N=4,M=2,n=2$ 的超几何分布：

$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ 当 $k=1$ 时： $P(X=1)=\frac{C_2^1{C}_{4-2}^{2-1}}{C_4^2}=\frac{2\times 2}{6}=\frac{2}{3}$ 这种视角在处理选项更多（如“从10个展馆中选3个”）的变式题时极具通用性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2000-上海卷理-10 填-古典概型
• 2004-全国卷II理-18 解-古典概型
• 2006-上海卷理-09 填-排列与组合计数原理