2021-上海卷-13 单-函数性质

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）13. 以下哪个函数既是奇函数，又是其定义域内的减函数（ ）

A. $f(x)=-3x$　　B. $f(x)=x^3$　　C. $f(x)={\log }_{3}x$　　D. $f(x)=3^x$

🔍【思路分析】

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本题采用“双重过滤法”： 第一道过滤（奇偶性）： 奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称。 第二道过滤（单调性）： 在定义域内随 $x$ 增大而减小。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 选项 A： $f(x)=-3x$

• 奇偶性：$f(-x)=-3(-x)=3x=-f(x)$，是奇函数。

• 单调性：由于斜率 $k=-3<0$，该一次函数在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。

• 结论：符合题意。

• 选项 B： $f(x)=x^3$

• 奇偶性：是奇函数。

• 单调性：在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

• 结论：不符合（增减性错误）。

• 选项 C： $f(x)={\log }_{3}x$

• 奇偶性：定义域为 $(0,+\infty )$，不关于原点对称，是非奇非偶函数。

• 单调性：底数 $3>1$，在定义域内单调递增。

• 结论：不符合。

• 选项 D： $f(x)=3^x$

• 奇偶性：$f(-x)=3^{-x}=(\frac{1}{3}{)}^x$，是非奇非偶函数。

• 单调性：指数函数底数 $3>1$，在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

• 结论：不符合。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基本初等函数的“画像”： 考生应能在脑海中瞬间浮现出幂、指、对、一次、二次函数的图像及其核心性质。

• 奇函数的单调性特征： 若奇函数在 $(0,+\infty )$ 上递减，则它在 $(-\infty ,0)$ 上也一定递减。即奇函数在对称区间上的单调性是相同的。

在上海卷中，常会考察复合函数的性质组合：

1. 奇 + 奇 = 奇（若单调性相同，则和函数的单调性也相同）。
2. 奇 $\times$ 奇 = 偶。
3. 奇 $\times$ 偶 = 奇。
4. 复合函数性质： $y=f(g(x))$。

• 若 $f,g$ 均为奇函数，则 $f(g(x))$ 为奇函数。
• 单调性遵循“同增异减”原则。例如：$y=-x^3$ 是由 $u=x^3$（增）和 $y=-u$（减）复合而成，所以是减函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用
• 2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性