2021-乙卷文-10 单-异面直线夹角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间向量的应用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, $P$ 为 $B_1{D}_1$ 的中点, 则直线 $PB$ 与 $A{D}_1$ 所成的角为 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标。
2. 求出直线 $PB$ 与 $A{D}_1$ 的方向向量。
3. 利用向量夹角公式计算夹角。

✅【答案】

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$\theta =\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 2，以 $D$ 为坐标原点，$DA,DC,D{D}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 则 $A(2,0,0)$, $B(2,2,0)$, $D_1(0,0,2)$。 $B_1(2,2,2)$, $D_1(0,0,2)$。 因为 $P$ 为 $B_1{D}_1$ 的中点，所以 $P(1,1,2)$。 向量 $\overrightarrow{PB}=B-P=(2-1,2-1,0-2)=(1,1,-2)$。 向量 $\overrightarrow{A{D}_1}=D_1-A=(0-2,0-0,2-0)=(-2,0,2)$。 设直线 $PB$ 与 $A{D}_1$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}|}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{A{D}_1}|}=\frac{|1(-2)+1(0)+(-2)(2)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}\sqrt{(-2{)}^2+0^2+2^2}}=\frac{|-2-4|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{8}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 因为 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以 $\theta =\frac{\pi }{6}$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成的角、向量数量积。
2. 核心方法：空间向量坐标法求夹角。
3. 避坑指南：向量夹角余弦值的绝对值才是异面直线所成角的余弦值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何中向量法的经典应用。
2. 结论推广：利用向量法求解空间角具有机械化、程序化的优势。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-07 单-异面直线所成的角
• 2009-四川卷理-15
• 2009-大纲卷II理-05