2021-乙卷文-14 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ 的右焦点到直线 $x+2y-8=0$ 的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据双曲线方程求出右焦点坐标。
2. 利用点到直线的距离公式计算右焦点到已知直线的距离。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，可得 $a^2=4,b^2=5$， 则半焦距 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+5}=3$。 因为焦点在 $x$ 轴上，所以右焦点坐标为 $(3,0)$。 点 $(3,0)$ 到直线 $x+2y-8=0$ 的距离为： $d=\frac{|3+2(0)-8|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|-5|}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。 故答案为：$\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦点、点到直线距离公式。
2. 核心方法：先定焦点坐标，再代入距离公式。
3. 避坑指南：双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，切勿与椭圆公式混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线基础几何量计算题。
2. 结论推广：熟练掌握双曲线 $c$ 的计算及点到直线距离公式是解题保障。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-13
• 2004-全国卷IV理-21 解-直线的截距式方程与一般式方程
• 2009-上海卷理-21