2021-乙卷理-09 单-相似三角形

本题导读

本题考查相似三角形，以及中国古代数学名著。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点 $E$，$H$，$G$ 在水平线 $AC$ 上，$DE$ 和 $FG$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， $EG$ 称为“表距”， $GC$ 和 $EH$ 都称为“表目距”， $GC$ 与 $EH$ 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 $AB=($　　$)$

A. $\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表高}$　B. $\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-\text{表高}$

C. $\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表距}$　D. $\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-\text{表距}$

🔍【思路分析】

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这是一道典型的“数学文化”应用题，核心几何模型是相似三角形。

1. 提取数学模型：标杆 $DE\perp AC$，$FG\perp AC$，海岛高 $AB\perp AC$。因此 $DE\parallel AB$ 且 $FG\parallel AB$。

2. 利用相似比：因为互相平行，存在两对相似三角形：$△DEH\sim △ABH$ 以及 $△FGC\sim △ABC$。

3. 代数变形：利用这两对相似三角形列出比例式，消去未知的水平距离（即岛到第一个标杆的距离 $AE$），用题干中给定的“表高”、“表距”、“表目距”等已知量表示出 $AB$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解析（相似三角形与代数消元）

由题意知，$AB\perp AC$，$DE\perp AC$，$FG\perp AC$，故 $AB\parallel DE\parallel FG$。

第一步：列出相似三角形比例关系

1. 在 $△ABH$ 中，$DE\parallel AB$，所以 $△DEH\sim △ABH$，得到比例：

   $\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{AH}$ …①

2. 在 $△ABC$ 中，$FG\parallel AB$，所以 $△FGC\sim △ABC$，得到比例：

   $\frac{FG}{AB}=\frac{CG}{AC}$ …②

第二步：利用已知条件代换

因为两个标杆等高，即 $DE=FG$（表高）。

结合①和②可得：$\frac{EH}{AH}=\frac{CG}{AC}$。

第三步：线段分割与代数化简

从图和题意可知，点在水平线上的顺序依次为 $A,E,H,G,C$（依据标准模型）。

根据线段加法公式：

$AH=AE+EH$

$AC=AE+EG+GC$

代入上述等式中：

$\frac{EH}{AE+EH}=\frac{CG}{AE+EG+GC}$

交叉相乘：

$EH\cdot (AE+EG+GC)=CG\cdot (AE+EH)$

展开得：

$EH\cdot AE+EH\cdot EG+EH\cdot GC=CG\cdot AE+CG\cdot EH$

移项合并同类项，提取 $AE$：

$EH\cdot EG=CG\cdot AE-EH\cdot AE$

$EH\cdot EG=AE\cdot (CG-EH)$

解出未知的距离 $AE$：

$AE=\frac{EH\cdot EG}{CG-EH}$

第四步：代回原式求解海岛高 $AB$

将 $AE$ 代回求 $AH$：

$AH=AE+EH$

代入①式变形：

$AB=\frac{DE\cdot AH}{EH}=\frac{DE\cdot (AE+EH)}{EH}=\frac{DE\cdot AE}{EH}+DE$

将 $AE$ 的表达式代入：

$AB=\frac{DE\cdot (\frac{EH\cdot EG}{CG-EH})}{EH}+DE=\frac{DE\cdot EG}{CG-EH}+DE$

第五步：翻译为古代术语

$DE$ 为“表高”，$EG$ 为“表距”，$CG-EH$ 为“表目距的差”。

所以：海岛高 $AB=\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表高}$。

故选：A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 文化背景：刘徽的《海岛算经》开创了中国古代“重差术”的先河。所谓“重差”，就是利用两次表测（即两次相似三角形）来消去无法直接测量的底边距离，从而求得目标高度。

• 计算技巧（局部代换）：在第四步中，$AB=\frac{DE\cdot (AE+EH)}{EH}=\frac{DE\cdot AE}{EH}+DE$ 这一步非常精妙。如果不先拆分开，而是把 $AE$ 算完加 $EH$ 通分再代入，计算量会变大且容易出错。分离常数法在几何代数化简中同样高效。

• 避坑指南：这类题干字数多、名词多，很多同学容易产生畏难情绪。解题关键是“翻译”：把大段的文言式描述翻译成字母线段，在草稿纸上只做字母运算，最后一步再对应回汉字选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

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