2021-北京卷-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式，以及幂的运算。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）${\left(x^3-\frac{1}{x}\right)}^4$ 展开式中常数项为__________．

🔍【思路分析】

破题导航

识别问题类型：本题考查二项展开式中特定项（常数项）的求解。

求解策略：

求二项展开式的特定项，通法是使用通项公式 $T_{r+1}$。

1. 首先，写出该二项式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

2. 其次，将通项公式中的常数部分和字母 $x$ 的部分分离，利用指数幂的运算法则合并同底数幂。

3. 最后，因为要求的是“常数项”，所以令合并后 $x$ 的指数等于 $0$，解出 $r$ 的值，代回系数部分即可得到答案。

✅【答案】

点击查看答案

$-4$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出二项展开式的通项公式

对于二项式 ${\left(x^3-\frac{1}{x}\right)}^4$，其展开式的通项公式为：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_4^r\cdot (x^3{)}^{4-r}\cdot {\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$ （其中 $r=0,1,2,3,4$）

第二步：化简通项公式，分离系数与变量

利用幂的运算法则 $(x^m{)}^n=x^{mn}$ 及 $\frac{1}{x}=x^{-1}$ 进行化简整理：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_4^r\cdot x^{3(4-r)}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-r}$

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_4^r\cdot x^{12-3r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-r}$

$T_{r+1}=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_4^r\cdot x^{12-3r-r}$

$T_{r+1}=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_4^r\cdot x^{12-4r}$

第三步：令指数为 $0$ 求常数项

因为要求的是常数项，这意味着 $x$ 的指数必须为 $0$。

令 $12-4r=0$，解得 $r=3$。

第四步：计算常数项的值

将 $r=3$ 代入化简后的系数部分：

$T_{3+1}=T_4=(-1{)}^3\cdot {\mathrm{C}}_4^3\cdot x^0$

因为 $(-1{)}^3=-1$，且 ${\mathrm{C}}_4^3={\mathrm{C}}_4^1=4$，

所以该常数项为：$-1\times 4=-4$。

结论：展开式中常数项为 $-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 二项展开式的通项公式：对于 $(a+b{)}^n$，其通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。这是解决此类题型的唯一利器，必须熟记。

2. 幂的运算法则：灵活运用负指数幂、分数指数幂等化简技巧。

   易错点提醒：

   在提取 $b$ 的部分时，极容易遗漏前面的负号。例如本题中的 $-\frac{1}{x}$，代入公式时必须整体代入，即 ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$，切不可只代入 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^r$。分离时一定要将 $(-1{)}^r$ 提取到系数部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数