2021-天津卷-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的表示方法，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）1．设集合 $A=\{-1,0,1\}$，$B=\{1,3,5\}$，$C=\{0,2,4\}$，则 $(A\cap B)\cup C=$ （ ）

A. $\{0\}$ 　　B. $\{0,1,3,5\}$ 　　C. \{0, 1, 2, 4\}$$ 　　D. \{0, 2, 3, 4\}$$

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查的是集合的混合运算。 遇到含有括号的集合运算表达式，其计算优先级与代数运算一致：先计算括号内的运算，再计算括号外的运算。

1. 第一步：先求括号内的交集 $A\cap B$，即找出集合 $A$ 和集合 $B$ 中共有的元素。

2. 第二步：再求并集，将上一步求得的结果集合与集合 $C$ 进行合并，剔除重复元素（本题中没有重复），即可得到最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

已知集合： $A=\{-1,0,1\}$ $B=\{1,3,5\}$ $C=\{0,2,4\}$

首先计算括号内的交集部分 $A\cap B$： 集合 $A$ 和集合 $B$ 中相同的元素只有 $1$， 因此，$A\cap B=\{1\}$。

接着计算与集合 $C$ 的并集运算 $(A\cap B)\cup C$： 将集合 $\{1\}$ 与集合 $C=\{0,2,4\}$ 中的所有元素合并， 因此，$(A\cap B)\cup C=\{1\}\cup \{0,2,4\}=\{0,1,2,4\}$。

对比选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 交集（$\cap$）的本质：找“共同点”。$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}$。

2. 并集（$\cup$）的本质：大“合并”。$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B\}$，注意集合元素的互异性，合并时相同的元素只写一次。

3. 运算顺序：四则运算中的“先括号内，后括号外”同样适用于集合的逻辑运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

虽然这是一道极简单的基础题，但借此可以复习一下集合运算的高阶定律。集合的交、并运算与实数的乘、加运算有高度的相似性，常常在稍微复杂一点的逻辑推理题或化简题中用到：

1. 交换律 $A\cap B=B\cap A$ $A\cup B=B\cup A$

2. 结合律 $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

3. 分配律（极易考查化简）

• 交集对并集的分配律：$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ (这就好比实数运算中的 $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$)

• 并集对交集的分配律：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

以本题为例，如果我们强行使用分配律展开 $(A\cap B)\cup C$，由于并集满足交换律，原式等价于 $C\cup (A\cap B)$。 根据分配律： $C\cup (A\cap B)=(C\cup A)\cap (C\cup B)$ 其中： $C\cup A=\{-1,0,1,2,4\}$ $C\cup B=\{0,1,2,3,4,5\}$ 两者取交集：$\{-1,0,1,2,4\}\cap \{0,1,2,3,4,5\}=\{0,1,2,4\}$。 结果与直接计算完全一致，这也从侧面验证了分配律的正确性（当然，对于这种具象的枚举集合，直接计算法永远是最快、最不容易出错的选择）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2019-天津卷理-01 单-集合运算
• 1987-全国卷理-01 单-集合的交集与并集
• 2004-江苏卷-01 单-集合的表示方法