2021-天津卷-07 单-对数运算

本题导读

本题考查指数式与对数式的互化，以及对数的换底公式。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）7．若 $2^a=5^b=10$，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ （ ）

A. $-1$　　　　　　　B. $\lg 7$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. ${\log }_{7}10$

🔍【思路分析】

破题导航

本题已知指数形式的连等式，求指数的倒数和。有两种常规破题思路：

思路一（从“对数”切入）：

利用指数式与对数式的互化，把 $a,b$ 用对数表示出来，即 $a={\log }_{2}10$。然后观察到要求的式子是 $\frac{1}{a}$，立刻联想到对数的换底公式推论（底数真数互换，对数值变为倒数），将其转化为同底对数求和。

思路二（从“指数”切入，极其巧妙）：

既然要求 $\frac{1}{a}$ 和 $\frac{1}{b}$，我们可以把已知等式变形为关于 $10$ 的指数幂：$2^a=10\Rightarrow 2=10^{\frac{1}{a}}$。同理得出 $5=10^{\frac{1}{b}}$。然后利用同底数幂相乘，指数相加的性质，直接构造出 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

法一：对数法（换底公式倒数关系）

因为 $2^a=5^b=10$，

将指数式化为对数式，得：

$a={\log }_{2}10,b={\log }_{5}10$

根据对数的换底公式推论 $\frac{1}{{\log }_{m}n}={\log }_{n}m$，可得：

\frac{1}{a} = \frac{1}{\log_2 10} = \log_{10} 2 = \lg 2$$$$\frac{1}{b} = \frac{1}{\log_5 10} = \log_{10} 5 = \lg 5

所以：

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\lg 2+\lg 5=\lg (2\times 5)=\lg 10=1$

法二：指数法（整体代换，强烈推荐）

已知连等式：

2^a = 10 \implies 2 = 10^{\frac{1}{a}}$$$$5^b = 10 \implies 5 = 10^{\frac{1}{b}}

将上面两个式子左右两边分别相乘：

$2\times 5=10^{\frac{1}{a}}\times 10^{\frac{1}{b}}$

化简得：

$10=10^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

比较两边指数可知：

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 换底公式倒数推论：${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$。当看到含有对数的倒数结构时，一定要条件反射般想到底数和真数互换。

2. 常见的凑整组合：在以 $10$ 为底（常用对数）的运算中，看到 $2$ 就要想到 $5$，看到 $5$ 就要想到 $2$，因为 $\lg 2+\lg 5=\lg 10=1$。

3. 不同视角的优劣：虽然对数法很严谨，但本题中**“指数法”**避开了对数符号的繁琐书写，直接利用乘法化加法，运算速度更快，不易出错，是考场上的首选。

在高考和各类模考中，经常会出现形如 $A^x=B^y=C^z$ 的连等式问题，要求计算 $x,y,z$ 的关系。这类题目的通用解决策略是**“设常数 $k$ 法”**。

核心模型： 已知 $A^x=B^y=C^z$，求关于 $x,y,z$ 的表达式。

通解套路：

1. 令 $A^x=B^y=C^z=k$ （如果题目没给具体数值，就自己设一个常数 $k$。本题中题目仁慈地给出了 $k=10$）。

2. 将每个底数用含有 $k$ 的幂表示出来：

A = k^{\frac{1}{x}}$$$$B = k^{\frac{1}{y}}$$$$C = k^{\frac{1}{z}}

3. 根据底数 $A,B,C$ 之间的乘除关系（比如寻找 $A\times B=C$ 等），转化为指数相加减的关系。

进阶小测：

已知 $3^a=4^b=12^c$，试证明：$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$。

快捷过程：设 $3^a=4^b=12^c=k$，则 $3=k^{\frac{1}{a}}$，$4=k^{\frac{1}{b}}$，$12=k^{\frac{1}{c}}$。

因为 $3\times 4=12$，所以 $k^{\frac{1}{a}}\cdot k^{\frac{1}{b}}=k^{\frac{1}{c}}$，即 $k^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=k^{\frac{1}{c}}$，由此即证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-01

• 2005-江苏卷-02 单-反函数的概念与求法

• 1977-北京理-03