2021-天津卷-13 填-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式，以及连续多次使用基本不等式的条件。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）13．若 $a>0,b>0$，则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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面对这种含有多个变量、求分式与整式之和的最小值问题，首选的工具是基本不等式（均值不等式）。

使用的核心指导思想是**“凑常数，消变量”**：

1. 第一次消元（消 $a$）：观察前两项 $\frac{1}{a}$ 和 $\frac{a}{b^2}$，由于 $a>0,b>0$，这两项都为正数。它们的乘积 $\frac{1}{a}\cdot \frac{a}{b^2}=\frac{1}{b^2}$，刚好把 $a$ 消去了。所以可以先对前两项使用基本不等式。

2. 第二次消元（消 $b$）：经过第一步，原式变大（或等于） $\frac{2}{b}+b$。此时再观察，这两项的乘积 $\frac{2}{b}\cdot b=2$，是一个常数！因此可以对 $\frac{2}{b}$ 和 $b$ 再次使用基本不等式。

3. 等号条件检验：连续两次使用不等式，最致命的错误就是两次等号成立的条件互相矛盾。必须解出 $a,b$ 的具体值，确认它们能够同时满足所有等号成立的条件。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对前两项应用基本不等式消去 $a$

因为 $a>0,b>0$，所以 $\frac{1}{a}>0,\frac{a}{b^2}>0$。

根据基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$，有：

$\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot \frac{a}{b^2}}=\frac{2}{b}$

因此，原式可转化为：

$\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b\ge \frac{2}{b}+b$

（注：此时等号成立的条件是 $\frac{1}{a}=\frac{a}{b^2}$，即 $a^2=b^2$，因为 $a,b>0$，所以 $a=b$）

第二步：对剩余项再次应用基本不等式消去 $b$

因为 $b>0$，所以 $\frac{2}{b}>0$。

再次应用基本不等式：

$\frac{2}{b}+b\ge 2\sqrt{\frac{2}{b}\cdot b}=2\sqrt{2}$

（注：此时等号成立的条件是 $\frac{2}{b}=b$，即 $b^2=2$，因为 $b>0$，所以 $b=\sqrt{2}$）

第三步：检验等号能否同时成立（极其关键）

综合上述两步，如果要使原式最终等于 $2\sqrt{2}$，必须满足两次等号同时成立：

a = b \ b = \sqrt{2} \end{cases}$$ 显然，当 $a = \sqrt{2}$ 且 $b = \sqrt{2}$ 时，上述两个条件同时满足。 （因为 $a>0, b>0$ 符合题意，未发生矛盾）。 所以，$\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} + b$ 的最小值为 $2\sqrt{2}$。 故答案为：$2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “一正、二定、三相等”：使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：各项必须是正数；各项的和或积必须是常数（定值）；等号必须能够取得。

2. 多次使用基本不等式的“连环套”：高考和模考中经常出现需要 2 次甚至 3 次使用基本不等式的题目。请务必记住：每次放缩产生的等号条件，必须取交集。如果交集为空集（例如第一次要求 $x=1$，第二次要求 $x=2$），则说明该最小值是无法达到的（即“假极值”），此时必须换用其他方法（如函数单调性、求导等）。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果觉得两次使用基本不等式还要验证等号很麻烦，我们可以利用“拆项”的思想，一步到位！

观察目标式：$\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b$

我们要消去分母里的 $a$ 和 $b^2$。前两项乘起来得到 $\frac{1}{b^2}$，分母有两个 $b$。

为了消去这两个 $b$，分子上也必须有两个 $b$ 才行。

但是原式后面只有一个 $b$ 怎么办？把它拆成两半！

$b=\frac{b}{2}+\frac{b}{2}$

现在，原式变成了四项相加：

$\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}$

对这四项直接使用四元基本不等式（或者将其视为两两分组再组合的效果）：

$x_1+x_2+x_3+x_4\ge 4\sqrt[4]{x_1{x}_2{x}_3{x}_4}$

代入计算：

\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} \ge 4 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{a} \cdot \frac{a}{b^2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{b}{2}}$$$$= 4 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{b^2} \cdot \frac{b^2}{4}}$$$$= 4 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{4}}$$$$= 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

等号成立条件：

四项相等即：$\frac{1}{a}=\frac{a}{b^2}=\frac{b}{2}=\frac{b}{2}$。

由 $\frac{a}{b^2}=\frac{b}{2}⟹a=\frac{b^3}{2}$；

由 $\frac{1}{a}=\frac{b}{2}⟹a=\frac{2}{b}$；

两式联立 $\frac{b^3}{2}=\frac{2}{b}⟹b^4=4⟹b=\sqrt{2}$，进而 $a=\sqrt{2}$。完全吻合！

总结：“拆项法”是处理非对称或幂次不匹配的不等式问题的化繁为简的有效工具。看到分母有 $b^n$，分子上的 $b$ 就要拆成 $n$ 项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围