2021-新高考I卷-04 单-三角函数单调性

本题导读

本题考查正弦函数的图象与性质，以及复合三角函数单调区间的求解。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）下列区间中，函数 $f(x)=7\sin (x-\frac{\pi }{6})$ 单调递增的区间是（ ）

A. $(0,\frac{\pi }{2})$　　　　B. $(\frac{\pi }{2},\pi )$　　　　C. $(\pi ,\frac{3\pi }{2})$　　　　D. $(\frac{3\pi }{2},2\pi )$

🔍【思路分析】

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1. 明确母函数增区间：正弦函数 $y=\sin u$ 的单调递增区间为 $[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ],k\in \mathbb{Z}$。
2. 实施整体代换：令 $u=x-\frac{\pi }{6}$，将整体 $u$ 代入上述增区间不等式。
3. 求解 $x$ 的范围：通过移项和通分，计算出函数 $f(x)$ 的所有单调增区间族。
4. 子集校验：对比选项中的开区间，判断哪一个区间完全包含在计算出的增区间范围内。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构建整体变量的不等式 令 $u=x-\frac{\pi }{6}$。 要使函数 $f(x)=7\sin (x-\frac{\pi }{6})$ 单调递增，需满足： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽x-\frac{\pi }{6}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

第二步：解不等式求 $x$ 的取值范围 不等式各项同时加上 $\frac{\pi }{6}$： $-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2k\pi ⩽x⩽\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 进行通分计算： $-\frac{3\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+2k\pi ⩽x⩽\frac{3\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+2k\pi$ $-\frac{2\pi }{6}+2k\pi ⩽x⩽\frac{4\pi }{6}+2k\pi$ 化简得： $-\frac{\pi }{3}+2k\pi ⩽x⩽\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

第三步：确定具体的增区间并对比选项 当 $k=0$ 时，函数 $f(x)$ 的一个单调递增区间为 $[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$。 现在检查选项区间是否为该区间的子集：

• A 选项 $(0,\frac{\pi }{2})$：因为 $-\frac{\pi }{3}<0$ 且 $\frac{\pi }{2}<\frac{2\pi }{3}$，所以 $(0,\frac{\pi }{2})\subset [-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$。该区间符合题意。
• B 选项 $(\frac{\pi }{2},\pi )$：因为 $\pi >\frac{2\pi }{3}$，该区间包含了部分减区间，排除。
• C 选项 $(\pi ,\frac{3\pi }{2})$：显然不在 $[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$ 范围内，排除。
• D 选项 $(\frac{3\pi }{2},2\pi )$：代入 $k=1$ 检查，增区间为 $[\frac{5\pi }{3},\frac{8\pi }{3}]$，该选项亦不符合。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心工具——整体代换法：处理 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 型函数的单调性、极值点、对称性时，将相位部分看作整体是标准的转化手段。
2. 逻辑注意点——子集关系：单调区间的选择题不一定要求你选出“整个”单调区间。只要选项给出的区间是该函数某个单调增区间的子集，那么函数在该区间内就是单调递增的。
3. 避坑指南：

• 系数影响：注意 $\sin$ 前面的系数 $A$ 的正负。若 $A<0$，则增减区间会发生对调。本题中 $7>0$，无需考虑此变化。
• 计算失误：分数加减（如 $-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$）是此类基础题最常见的丢分点，务必在草稿纸上通分核对。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果函数变为 $f(x)=7\cos (x-\frac{\pi }{6})$，单调增区间该如何求解？ (提示：余弦函数的增区间为 $[-\pi +2k\pi ,2k\pi ]$，同样使用整体代换法即可。)
• 能力提升：若 $\omega \ne 1$（如 $f(x)=\sin (2x-\frac{\pi }{6})$），在解不等式最后一步需要除以 $2$，此时单调区间的长度会缩短一半。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-05
• 1991-全国卷理-21
• 1992-全国卷理-12