2021-新高考I卷-07 单-导数切线

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与极值。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）若过点 $(a,b)$ 可以作曲线 $y={\text{e}}^x$ 的两条切线，则（ ）

A. ${\text{e}}^b<a$　　　B. ${\text{e}}^a<b$　　　C. $0<a<{\text{e}}^b$　　　D. $0<b<{\text{e}}^a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立切线方程模型：设出切点坐标 $(x_0,{\text{e}}^{x_0})$，利用导数求出切线斜率，写出点斜式切线方程。

2. 转化问题：将点 $(a,b)$ 代入切线方程，得到关于切点横坐标 $x_0$ 的方程。题目要求“两条切线”，等价于该方程关于 $x_0$ 有两个不同的实根。

3. 构造函数分析：构造辅助函数 $h(x)$，利用导数工具研究其单调性、极值以及在无穷远处的趋势（渐近线）。

4. 数形结合判定：通过水平直线 $y=b$ 与函数 $y=h(x)$ 的交点情况，确定 $b$ 与极大值及渐近线的数值关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设切点并列出切线方程

设切点为 $P(x_0,{\text{e}}^{x_0})$。

函数 $y={\text{e}}^x$ 的导数为 $y^{\prime }={\text{e}}^x$，故在点 $P$ 处的切线斜率 $k={\text{e}}^{x_0}$。

切线方程为：$y-{\text{e}}^{x_0}={\text{e}}^{x_0}(x-x_0)$。

第二步：代入已知点 $(a,b)$ 转化方程

因为切线经过点 $(a,b)$，代入方程得：

$b-{\text{e}}^{x_0}={\text{e}}^{x_0}(a-x_0)$

整理得：$b={\text{e}}^{x_0}(a+1-x_0)$。

若过点 $(a,b)$ 有两条切线，则上述关于 $x_0$ 的方程有两个不同的实根。

第三步：构造函数并研究其性质

设辅助函数 $f(x)={\text{e}}^x(a+1-x)$，求其导数：

$f^{\prime }(x)={\text{e}}^x(a+1-x)+{\text{e}}^x(-1)={\text{e}}^x(a-x)$。

令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x=a$。

• 当 $x<a$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

• 当 $x>a$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

故 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极大值（亦为最大值）：

$f(a)={\text{e}}^a(a+1-a)={\text{e}}^a$。

第四步：分析渐近线与根的个数

观察函数 $f(x)$ 的边界趋势：

• 当 $x\to -\infty$ 时，${\text{e}}^x\to 0$ 且 $(a+1-x)\to +\infty$。由于指数函数的衰减速度远快于多项式的增长，可知 $f(x)\to 0$（且从正向趋近）。

• 当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$。

第五步：确定 $b$ 的取值范围

要使直线 $y=b$ 与曲线 $y=f(x)$ 有两个不同的交点，根据函数图象（从 $0$ 开始爬升至波峰 ${\text{e}}^a$ 再下降至 $-\infty$）：

直线 $y=b$ 必须位于 $x$ 轴上方且低于波峰，即：

$0<b<{\text{e}}^a$。

故选：D。

方法一：代数法（导数与函数零点）

设切点坐标为 $(x_0,{\text{e}}^{x_0})$。

对函数 $y={\text{e}}^x$ 求导得：

$y^{\prime }={\text{e}}^x$

因此，过切点的切线方程为：

$y-{\text{e}}^{x_0}={\text{e}}^{x_0}(x-x_0)$

将已知点 $(a,b)$ 代入切线方程得：

$b-{\text{e}}^{x_0}={\text{e}}^{x_0}(a-x_0)$

整理得：

$b=(a+1-x_0){\text{e}}^{x_0}$

过点 $(a,b)$ 能作两条切线 $⟺$ 关于 $x_0$ 的方程 $b=(a+1-x_0){\text{e}}^{x_0}$ 有两个不同的实数根。

设辅助函数 $g(x)=(a+1-x){\text{e}}^x$，求导得：

$g^{\prime }(x)=-{\text{e}}^x+(a+1-x){\text{e}}^x=(a-x){\text{e}}^x$

• 当 $x<a$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增；

• 当 $x>a$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减。

因此，$g(x)$ 在 $x=a$ 处取得最大值：

$g(a)=(a+1-a){\text{e}}^a={\text{e}}^a$

• 当 $x\to -\infty$ 时，$g(x)\to 0$ 且 $g(x)>0$；

• 当 $x\to +\infty$ 时，$g(x)\to -\infty$。

若直线 $y=b$ 与曲线 $y=g(x)$ 有两个不同的交点，则 $b$ 必须满足：

$0<b<{\text{e}}^a$

方法二：数形结合法（切线族的几何分布）

切点为 $P(t,{\text{e}}^t)$ 时，切线方程为：

$y={\text{e}}^t(x-t+1)$

切线与直线 $x=a$ 的交点纵坐标为：

$y_a(t)={\text{e}}^t(a-t+1)$

过点 $(a,b)$ 能作两条切线，即存在两个不同的切点 $t$，使得切线在 $x=a$ 处的纵坐标均为 $b$。

• 最高点（极大值）：当切点为 $(a,{\text{e}}^a)$ 时，切线在 $x=a$ 处的交点纵坐标达到最高：

$y_{a,\max }={\text{e}}^a$

• 下边界（渐近线）：当切点向左延伸（$t\to -\infty$）时，切线斜率趋于 $0$，在 $x=a$ 处的交点纵坐标无限接近 $0$ 但恒大于 $0$。

当 $b$ 介于下界 $0$ 与上界 ${\text{e}}^a$ 之间（即 $0<b<{\text{e}}^a$）时，在 $t<a$ 与 $t>a$ 各有一个切点能使切线经过点 $(a,b)$。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心模板：处理“切线条数”问题的通用流程：设切点 $\to$ 列方程 $\to$ 转化根的个数 $\to$ 构造函数研究极值与趋势。

2. 几何直观：对于指数函数 $y={\text{e}}^x$，存在一个有趣的“切线分布规律”：

• 点在曲线上方（$b>{\text{e}}^a$）：无切线。

• 点在曲线上（$b={\text{e}}^a$）：仅 1 条切线（本身）。

• 点在曲线下方且在 $x$ 轴上方（$0<b<{\text{e}}^a$）：有 2 条切线。

• 点在 $x$ 轴上或 $x$ 轴下方（$b⩽0$）：有 1 条切线。

3. 避坑指南：在分析 $x\to -\infty$ 的趋势时，务必注意函数值是趋近于 $0$ 的。如果忽略了左侧的渐近线，极易漏掉 $b>0$ 这一关键限制条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目改为“过点 $(a,b)$ 只能作曲线 $y={\text{e}}^x$ 的一条切线”，那么 $a,b$ 满足什么关系？

(提示：根据上述分析，应满足 $b={\text{e}}^a$ 或 $b⩽0$。)

• 能力提升：对于对数函数 $y=\ln x$，过定点作切线的条数问题可以采用类似的构造函数法解决。注意对数函数的定义域限制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值

• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性

• 2005-江西卷理-07 单-导数的几何意义