2021-新高考I卷-14 填-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及直线垂直的斜率关系。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，$P$ 为 $C$ 上一点，$PF$ 与 $x$ 轴垂直，$Q$ 为 $x$ 轴上一点，且 $PQ\perp OP$。若 $|FQ|=6$，则 $C$ 的准线方程为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 确定 $P$ 点坐标：由于 $PF\perp x$ 轴且 $F$ 为焦点，可知 $P$ 点的横坐标与焦点 $F$ 相同，均为 $\frac{p}{2}$。代入抛物线方程即可得到 $P$ 点的纵坐标。
2. 利用垂直关系找 $Q$ 点：

• 斜率法：计算 $OP$ 的斜率，利用 $k_{OP}\cdot k_{PQ}=-1$ 求出直线 $PQ$ 的斜率，进而写出直线方程并求出其与 $x$ 轴的交点 $Q$。
• 几何法：利用直角三角形中的射影定理（或相似三角形）建立关系。

3. 建立关于 $p$ 的方程：利用已知条件 $|FQ|=6$（即 $Q$ 与 $F$ 的横坐标之差的绝对值）求出 $p$ 值。
4. 得出准线方程：抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。

✅【答案】

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$x=-\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定点 $P$ 的坐标 抛物线 $C:y^2=2px$ 的焦点坐标为 $F(\frac{p}{2},0)$。 因为 $PF\perp x$ 轴，所以点 $P$ 的横坐标 $x_P=\frac{p}{2}$。 将 $x_P=\frac{p}{2}$ 代入 $y^2=2px$，得 $y^2=2p\cdot \frac{p}{2}=p^2$。 取点 $P$ 在第一象限，则 $P(\frac{p}{2},p)$。

第二步：求解点 $Q$ 的坐标 解法 A（斜率法）： 直线 $OP$ 的斜率 $k_{OP}=\frac{p-0}{\frac{p}{2}-0}=2$。 因为 $PQ\perp OP$，所以直线 $PQ$ 的斜率 $k_{PQ}=-\frac{1}{2}$。 直线 $PQ$ 的方程为：$y-p=-\frac{1}{2}(x-\frac{p}{2})$。 令 $y=0$（求与 $x$ 轴的交点 $Q$）： $-p=-\frac{1}{2}(x-\frac{p}{2})⟹2p=x-\frac{p}{2}⟹x=\frac{5p}{2}$。 所以点 $Q(\frac{5p}{2},0)$。

解法 B（射影定理）： 在 $Rt△OPQ$ 中，$PF\perp OQ$，根据射影定理： $P{F}^2=OF\cdot FQ$ 即 $p^2=\frac{p}{2}\cdot |FQ|$。

第三步：求解参数 $p$ 并确定准线 已知 $|FQ|=6$。 由解法 A 得：$|FQ|=|\frac{5p}{2}-\frac{p}{2}|=2p$。 令 $2p=6$，解得 $p=3$。 （由解法 B 亦得：$3^2=\frac{3}{2}\cdot 6$ 成立）。

抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 代入 $p=3$，得准线方程为 $x=-\frac{3}{2}$。

故答案为：$x=-\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心模型——通径端点：抛物线中垂直于对称轴且过焦点的弦称为通径。通径的长度为 $2p$，其端点坐标 $(\frac{p}{2},\pm p)$ 是解析几何中的高频考点，应熟练掌握。
2. 垂直关系的几何转化：在涉及直角三角形且含有高线（如本题中的 $PF$）时，射影定理 $h^2=m\cdot n$ 往往比斜率公式计算量更小。
3. 避坑指南：

• 注意准线方程的符号：开口向右的抛物线 $y^2=2px$ 准线在 $y$ 轴左侧，方程为 $x=-\frac{p}{2}$。
• 区分 $p$ 与 $\frac{p}{2}$：在计算距离 $|FQ|$ 时，不要漏掉 $F$ 点本身的横坐标 $\frac{p}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题还可以使用向量法。设 $Q(x_Q,0)$，则 $\overrightarrow{OP}=(\frac{p}{2},p)$，$\overrightarrow{PQ}=(x_Q-\frac{p}{2},-p)$。由 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=0$ 建立方程 $\frac{p}{2}(x_Q-\frac{p}{2})-p^2=0$，同样可以快速解出 $x_Q=\frac{5p}{2}$。
• 变式思考：若题目改为“以 $PQ$ 为直径的圆经过焦点 $F$”，该如何求解？ (提示：这与 $PF\perp OQ$ 的几何背景相契合，可结合圆的性质进一步探讨。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-02
• 1980-全国卷理-03
• 1980-全国卷理-09