2021-新高考II卷-03 单-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）若抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$，则 $p=$（ ）

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $2\sqrt{2}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 确定焦点坐标：根据抛物线标准方程 $y^2=2px$ 确定其焦点 $F$ 的坐标。
2. 直线方程标准化：将直线 $y=x+1$ 转化为一般式 $Ax+By+C=0$，以便调用点到直线距离公式。
3. 方程建模：利用点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 建立关于 $p$ 的等式。
4. 求解并筛选：解出 $p$ 的值，并结合 $p>0$ 的已知条件确定最终答案。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定抛物线的焦点 对于抛物线 $y^2=2px(p>0)$，其开口向右，对称轴为 $x$ 轴。 根据抛物线的几何性质，其焦点坐标为 $F(\frac{p}{2},0)$。

第二步：转化直线方程 将直线 $y=x+1$ 移项化为一般式方程： $x-y+1=0$

第三步：应用点到直线距离公式 焦点 $F(\frac{p}{2},0)$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离 $d$ 公式为： $d=\frac{|\frac{p}{2}-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|\frac{p}{2}+1|}{\sqrt{2}}$ 已知距离 $d=\sqrt{2}$，代入得： $\frac{|\frac{p}{2}+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

第四步：求解参数 $p$ 两边同时乘以 $\sqrt{2}$，得： $|\frac{p}{2}+1|=2$ 由此可得两个方程：

1. $\frac{p}{2}+1=2⟹\frac{p}{2}=1⟹p=2$
2. $\frac{p}{2}+1=-2⟹\frac{p}{2}=-3⟹p=-6$

第五步：结论判定 由于题目明确给定条件 $p>0$，故舍去 $p=-6$。 最终结果为 $p=2$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心基础：准确记忆四种开口方向抛物线的焦点坐标及准线方程。

• $y^2=2px\to F(\frac{p}{2},0)$
• $y^2=-2px\to F(-\frac{p}{2},0)$
• $x^2=2py\to F(0,\frac{p}{2})$
• $x^2=-2py\to F(0,-\frac{p}{2})$

2. 运算技巧：在解析几何中，凡是涉及距离的问题，必须优先考虑点线距离公式，且务必先将直线方程写成 $Ax+By+C=0$ 的形式。
3. 避坑指南：

• 焦点位置记混：分清焦点是在 $x$ 轴还是 $y$ 轴。
• 绝对值处理：解含参绝对值方程时，容易漏掉负值情况或忘记根据题目范围（如 $p>0$）进行筛选。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目改为“抛物线的准线到直线的距离”，该如何处理？ (提示：准线是直线 $x=-\frac{p}{2}$，此时问题转化为两条平行直线间的距离或利用准线上任意一点代入点线距离公式求解。)
• 能力提升：若已知焦点到直线的距离求 $p$ 的取值范围，则需要将等式变为不等式，并结合判别式等条件综合考量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考理-19
• 2006-辽宁卷理-20 解-点到直线的距离公式与最值求解
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离