2021-新高考II卷-04 单-球表面积

本题导读

本题考查空间几何体的表面积，以及数学建模。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 $36000\text{km}$（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 $O$，半径 $r$ 为 $6400\text{km}$ 的球，其上点 $A$ 的纬度是指 $OA$ 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $\alpha$，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 $S=2\pi r^2(1-\cos \alpha )$（单位：${\text{km}}^2$），则 $S$ 占地球表面积的百分比约为（ ）

A. 26%$B.34$　　　　　　C. 42%$D.50$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立几何模型：设卫星位置为 $S$，地心为 $O$。卫星到地心的距离 $OS=r+h$（半径 + 轨道高度）。

2. 寻找临界条件：能观测到卫星的“纬度最大值”对应的是视线恰好与地球表面相切的状态。此时，若观测点为 $A$，则 $OA\perp AS$。

3. 求解 $\cos \alpha$：在 $\text{Rt}△OAS$ 中，$\angle AOS$ 即为该点的纬度 $\alpha$。利用余弦定义 $\cos \alpha =\frac{OA}{OS}$ 即可求得数值。

4. 计算占比：地球总表面积为 $S_{总}=4\pi r^2$。求出 $\frac{S}{S_{总}}$ 的比例表达式，代入 $\cos \alpha$ 进行估算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算卫星到地心的距离 已知地球半径 $r=6400\text{km}$，卫星轨道高度 $h=36000\text{km}$。 则 $OS=r+h=6400+36000=42400\text{km}$。

第二步：在直角三角形中求出 $\cos \alpha$ 当纬度达到最大值 $\alpha$ 时，视线 $AS$ 与球面相切，故 $OA\perp AS$。 在 $\text{Rt}△OAS$ 中： $\cos \alpha =\frac{OA}{OS}=\frac{r}{r+h}=\frac{6400}{42400}=\frac{64}{424}=\frac{8}{53}$。

第三步：建立百分比表达式并约分 已知信号覆盖面积 $S=2\pi r^2(1-\cos \alpha )$。 地球总表面积 $S_{总}=4\pi r^2$。 则占比 $P=\frac{S}{S_{总}}=\frac{2\pi r^2(1-\cos \alpha )}{4\pi r^2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$。

第四步：数值代入与估算 将 $\cos \alpha =\frac{8}{53}$ 代入占比公式： $P=\frac{1-\frac{8}{53}}{2}=\frac{53-8}{53\times 2}=\frac{45}{106}$ 执行除法：$45÷106\approx \mathrm{0.4245...}$ 转换为百分数约为 $42.5\%$。

对比选项，最接近的估算值为 42%。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 切线性质的还原：在航天或地理几何题中，“最远可见距离”或“最大可见纬度”通常对应切线位置，这是构造直角三角形的突破口。
2. 比例计算的优化：不要试图先算出 $S$ 的具体数值。在数学中，**“比例问题先化简字母”**能极大降低计算强度并减少有效数字进位带来的误差。
3. 避坑指南：

• 距离陷阱：$OS$ 是斜边，必须包含半径 $r$，不能只用高度 $36000$。
• 公式理解：题目给出的 $S$ 公式实际上是球冠面积公式，理解其结构有助于快速建立与全表面积的关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题占比 $P=\frac{1-\cos \alpha }{2}$ 实际上可以进一步表示为 $P=\frac{h}{2(r+h)}$（此处的 $h$ 是卫星轨道高度）。代入数据 $P=\frac{36000}{2\times 42400}=\frac{360}{848}\approx 0.4245$。这个通式在类似题型中非常实用。
• 变式思考：如果卫星高度降低，覆盖率 $S/S_{总}$ 会如何变化？ (提示：由公式可知 $P$ 随 $h$ 减小而减小，符合直观物理规律。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积