2021-新高考II卷-05 单-棱台体积

本题导读

本题考查正四棱台的体积公式，以及正四棱台的几何特征。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（ ）

A. $20+12\sqrt{3}$　　　　　B. $28\sqrt{2}$　　　　　C. $\frac{56}{3}$　　　　　D. $\frac{28\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算底面积：由上底边长 $a=2$ 和下底边长 $b=4$，分别求出上底面积 $S_1$ 和下底面积 $S_2$。
2. 求解棱台的高 $h$：

• 寻找包含高的直角三角形：考虑过相对侧棱的轴截面。

• 确定直角三角形的边：直角三角形的斜边为侧棱 $l=2$，一条直角边为高 $h$，另一条水平直角边为上下底面对角线长度之差的一半。

• 利用勾股定理计算 $h$。

3. 代入体积公式：使用 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$ 得到最终结果。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算上下底面面积 上底面为正方形，边长为 2，则 $S_1=2^2=4$。 下底面为正方形，边长为 4，则 $S_2=4^2=16$。 中间项 $\sqrt{S_1{S}_2}=\sqrt{4\times 16}=8$。

第二步：计算棱台的高 $h$ 设下底面中心为 $O$，上底面中心为 $O_1$。连接下底面中心到一个顶点 $B$，上底面中心到对应顶点 $B_1$。

• 下底面对角线长为 $4\sqrt{2}$，则 $OB=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。

• 上底面对角线长为 $2\sqrt{2}$，则 $O_1{B}_1=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。 过 $B_1$ 作 $B_{1}E\perp OB$ 于点 $E$，则 $B_{1}E$ 即为棱台的高 $h$。 在 $Rt△B_{1}EB$ 中：

• 斜边 $B_{1}B=2$（侧棱长）。

• 直角边 $EB=OB-O_1{B}_1=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。 根据勾股定理： $h=\sqrt{B_1{B}^2-E{B}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$。

第三步：计算体积 代入公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$： $V=\frac{1}{3}\times \sqrt{2}\times (4+16+8)$ $V=\frac{1}{3}\times \sqrt{2}\times 28=\frac{28\sqrt{2}}{3}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式：台体体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}{S}_{下}})$ 是基础。对于四棱台，$\sqrt{S_{上}{S}_{下}}$ 恰好等于上下底边长的乘积 $ab$。
2. 截面法的应用：解决棱台、棱锥度量问题的关键是寻找“特征直角三角形”。

• 若已知侧棱，常利用过侧棱的对角面截面（如本题）。
• 若已知斜高（侧面三角形的高），常利用过侧面中线的截面。

3. 易错点提醒：

• 忽略体积公式中的 $\frac{1}{3}$。
• 混淆“侧棱长”与“高”，或者在寻找直角三角形时，水平边误用了底面边长而非底面对角线的一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目给定的是“侧面与底面所成的二面角”，或者是“侧面三角形的面积”，该如何求高？ (提示：此时需要利用侧面斜高、高、以及内心到边的距离构建直角三角形。)

• 能力提升：若将正四棱台改为圆台（上底半径 1，下底半径 2，母线 2），其体积计算逻辑完全一致，只需将底面积公式更换为圆面积公式即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 1977-河北卷-06
• 1991-全国卷理-18