本题导读
本题考查统计数据的数字特征，以及标准差、极差、中位数、平均数的定。
📌【题干】
Question
（2021年新高考II卷）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A. 样本 的标准差 B. 样本 的中位数
C. 样本 的极差 D. 样本 的平均数
🔍【思路分析】
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- 明确分类标准：统计量通常根据其描述的数据特征分为两类：
- 集中趋势指标：反映数据的“中心位置”、“平均水平”或“重心”。
- 离散程度指标：反映数据的“波动大小”、“稳定程度”或“分布广度”。
- 分析选项指标：
- 标准差：描述观测值偏离平均数的平均幅度。
- 中位数：描述排序后处于中间位置的数值。
- 极差：描述数据取值范围的大小。
- 平均数：描述所有数据的算术平均水平。
✅【答案】
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正确选项为 AC
✍【详细解析】
Abstract
第一步：判定 A 选项（标准差） 标准差（Standard Deviation）是方差的算术平方根。它衡量的是样本数据偏离平均数的程度。标准差越大，数据波动越剧烈，分布越分散；标准差越小，数据越趋于稳定。 因此，标准差是衡量离散程度的核心指标。故 A 符合题意。
第二步：判定 B 选项（中位数） 中位数（Median）是将样本数据按从小到大排列后，处于中间位置的数。它反映了数据的中心位置，受极端值影响较小。 因此，中位数属于衡量集中趋势的指标。故 B 不符合题意。
第三步：判定 C 选项（极差） 极差（Range）是样本数据中最大值与最小值的差（）。它直观地反映了数据取值范围的大小和变动幅度的上限。 因此，极差是度量离散程度最简便的指标。故 C 符合题意。
第四步：判定 D 选项（平均数） 平均数（Mean）是所有样本数据的算术平均值，反映了样本的总体平均水平。 因此，平均数属于衡量集中趋势最常用的指标。故 D 不符合题意。
综上所述，正确选项为 AC。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心分类体系：
- 离散程度（看波动）：极差、方差、标准差、四分位数间距（IQR）。
- 集中趋势（看重心）：平均数、中位数、众数。
- 数据变换的影响：
- 当所有数据同时加上一个常数 （平移变换）时，离散程度指标（极差、标准差等）保持不变，而集中趋势指标（平均数等）同步增加 。
- 避坑指南：不要因为极差计算简单就忽略其统计意义，极差虽然只利用了两个极值，但它是描述数据“离散”最直观的方式之一。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 方法拓展：在实际数据分析中，若数据中存在严重的离群值（Outliers），平均数会产生很大偏差，此时通常使用中位数来描述集中趋势，使用**分位数间距（IQR）**来描述离散程度。
- 变式思考：如果题目问“反映数据分布对称性的指标”，通常会涉及偏度（Skewness）；而反映分布平峰或尖峰程度的则是峰度（Kurtosis）。
🔗【关联脉络】
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