2021-新高考II卷-22 解-导数综合

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于分类讨论法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ 。

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明： $f (x)$ 有且仅有一个零点。

① $\frac{1}{2} < a ⩽ \frac{e ^{2}}{2}$ ， $b > 2 a$ ；

② $0 < a < \frac{1}{2}$ ， $b ⩽ 2 a$ 。

🔍【思路分析】

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第一问（单调性讨论）：

求导化简： $f^{'} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} - 2 a x = x e^{x} - 2 a x = x (e^{x} - 2 a)$ 。

确定零点：导函数的零点取决于 $x = 0$ 和 $e^{x} = 2 a$ （即 $x = ln (2 a)$ ）。

分类标准：需根据 $a$ 的正负（决定 $ln (2 a)$ 是否存在）以及 $ln (2 a)$ 与 $0$ 的大小关系（即 $2 a$ 与 $1$ 的大小）进行分类讨论。

第二问（零点唯一性证明）：

极值判定：根据第一问的单调性，确定函数的极大值和极小值位置。

存在性证明：在函数单调且跨越 $x$ 轴的区间，利用零点存在性定理证明“有”零点。

唯一性证明：在其他区间，通过证明极值（极大值小于 0 或极小值大于 0）来排除其他零点的可能。

技巧放缩：证明 $f (ln (2 a))$ 的正负时，代入 $e^{l n (2 a)} = 2 a$ 并利用已知条件（如 $b > 2 a$ ）化简。

✅【答案】

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选条件 ① 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点

✍【详细解析】

Abstract

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性对 $f (x)$ 求导得： $f^{'} (x) = x e^{x} - 2 a x = x (e^{x} - 2 a)$ 。

当 $a ⩽ 0$ 时： $e^{x} - 2 a > 0$ 恒成立。当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 单调递减；当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x)$ 单调递增。

当 $a > 0$ 时：令 $f^{'} (x) = 0$ ，解得 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = ln (2 a)$ 。

若 $0 < a < \frac{1}{2}$ ，则 $ln (2 a) < 0$ ： $x \in (- \infty, ln (2 a))$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x) ↑$ ； $x \in (ln (2 a), 0)$ 时， $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x) ↓$ ； $x \in (0, + \infty)$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x) ↑$ 。

若 $a = \frac{1}{2}$ ，则 $ln (2 a) = 0$ ： $f^{'} (x) = x (e^{x} - 1) ⩾ 0$ 恒成立， $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增。

若 $a > \frac{1}{2}$ ，则 $ln (2 a) > 0$ ： $x \in (- \infty, 0)$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x) ↑$ ； $x \in (0, ln (2 a))$ 时， $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x) ↓$ ； $x \in (ln (2 a), + \infty)$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x) ↑$ 。

（2）证明 $f (x)$ 有且仅有一个零点 若选条件 ①： $\frac{1}{2} < a ⩽ \frac{e ^{2}}{2}$ ， $b > 2 a$ 。此时 $0 < ln (2 a) ⩽ 2$ 。由（1）知 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0) ↑, (0, ln (2 a)) ↓, (ln (2 a), + \infty) ↑$ 。

区间 $(- \infty, 0]$ ： $f (0) = b - 1 > 2 a - 1 > 0$ （因为 $a > 1/2$ ）。当 $x \to - \infty$ 时， $f (x) \to - \infty$ 。根据单调递增且 $f (0) > 0$ ，在 $(- \infty, 0)$ 内有且仅有一个零点。

区间 $(0, + \infty)$ ：需证明极小值 $f (ln (2 a)) > 0$ 。 $f (ln (2 a)) = (ln (2 a) - 1) e^{l n (2 a)} - a (ln (2 a))^{2} + b = 2 a ln (2 a) - 2 a - a (ln (2 a))^{2} + b$ 。由于 $b > 2 a$ ： $f (ln (2 a)) > 2 a ln (2 a) - a (ln (2 a))^{2} = a ln (2 a) (2 - ln (2 a))$ 。已知 $1 < 2 a ⩽ e^{2}$ ，故 $0 < ln (2 a) ⩽ 2$ 。因此 $a ln (2 a) (2 - ln (2 a)) ⩾ 0$ ，即 $f (ln (2 a)) > 0$ 。结合单调性，在该区间无零点。综上，选条件 ① 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点。

若选条件 ②： $0 < a < \frac{1}{2}$ ， $b ⩽ 2 a$ 。此时 $ln (2 a) < 0$ 。由（1）知 $f (x)$ 在 $(- \infty, ln (2 a)) ↑, (ln (2 a), 0) ↓, (0, + \infty) ↑$ 。

区间 $[0, + \infty)$ ： $f (0) = b - 1 ⩽ 2 a - 1 < 0$ （因为 $a < 1/2$ ）。当 $x \to + \infty$ 时， $f (x) \to + \infty$ 。根据单调递增且 $f (0) < 0$ ，在 $(0, + \infty)$ 内有且仅有一个零点。

区间 $(- \infty, 0)$ ：需证明极大值 $f (ln (2 a)) < 0$ 。 $f (ln (2 a)) = 2 a ln (2 a) - 2 a - a (ln (2 a))^{2} + b$ 。由于 $b ⩽ 2 a$ ： $f (ln (2 a)) ⩽ 2 a ln (2 a) - a (ln (2 a))^{2} = a ln (2 a) (2 - ln (2 a))$ 。已知 $0 < 2 a < 1$ ，故 $ln (2 a) < 0$ 。因此 $a ln (2 a) (2 - ln (2 a)) < 0$ ，即 $f (ln (2 a)) < 0$ 。结合单调性，在该区间无零点。综上，选条件 ② 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

导数零点布局： $f^{'} (x) = x (e^{x} - 2 a)$ 这种结构包含一个固定零点 $0$ 和一个动态零点 $ln (2 a)$ ，两者的相对位置决定了函数的波峰波谷形态。

极值点代换技巧：在处理 $f (ln (2 a))$ 时，利用 $e^{l n (2 a)} = 2 a$ 将指数项消去，转化为关于 $ln (2 a)$ 的二次式，这是解析含参导数题的标准化操作。

零点个数判定的标准动作：

寻找单调区间。

证明一个区间端点异号（存在性）。

证明其他区间最值同号（唯一性）。

📖【试题探源与推广】

Tip

方法拓展：对于无法直接观察出端点正负的情况，可以利用指数放缩 $e^{x} ⩾ x + 1$ 或 $e^{x} ⩾ e x$ 来辅助寻找使函数值异号的 $x$ 值。

变式思考：如果将题目改为“若 $f (x)$ 有三个零点，求参数 $a, b$ 的范围”，解题思路依然是寻找极值，但要求极大值大于 0 且极小值小于 0。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

20.03 导数研究单调性与极值最值

08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

2003-上海卷理-10

2007-天津卷理-20 解-函数极值

2008-天津卷文-21 解-四次函数极值与恒成立

∑ ( Math )

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💡【考点归纳与避坑指南】

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