2021-浙江卷-07 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的图象识别，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）7. 已知函数 $f(x)=x^2+\frac{1}{4},g(x)=\sin x$，则图象为如图的函数可能是（ ）

A. $y=f(x)+g(x)-\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $y=f(x)-g(x)-\frac{1}{4}$

C. $y=f(x)g(x)$　　　　　　　　　　　D. $y=\frac{g(x)}{f(x)}$

🔍【思路分析】

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处理此类“选图”或“识图”题，切忌直接去画出每个选项的精确图象，而是应该通过分析函数的性质进行排除。

1. 看奇偶性（对称性）： 观察原图象（原图应关于原点对称，是奇函数）。我们将四个选项化简，看谁不满足奇偶性，直接淘汰。
2. 看单调性/特殊点： 对于剩下无法用奇偶性淘汰的选项，求导数或者代入一个容易计算的特殊值（例如 $x=\frac{\pi }{4}$），看看函数在这个点的正负或单调上升/下降趋势是否与原图相符。

✍【详细解析】

Abstract

将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 代入各个选项进行分析：

对于 A 选项： $y=x^2+\frac{1}{4}+\sin x-\frac{1}{4}=x^2+\sin x$。 设 $h(x)=x^2+\sin x$，则 $h(-x)=(-x{)}^2+\sin (-x)=x^2-\sin x$。 显然 $h(-x)\ne h(x)$ 且 $h(-x)\ne -h(x)$，该函数为非奇非偶函数。而原图象具有对称性（根据后续CD选项可推知为奇函数图象），与图象不符，排除 A。

对于 B 选项： $y=x^2+\frac{1}{4}-\sin x-\frac{1}{4}=x^2-\sin x$。 同理，该函数也为非奇非偶函数，与图象不符，排除 B。

对于 C 选项： $y=\left(x^2+\frac{1}{4}\right)\sin x$。这是偶函数 $\times$ 奇函数，结果为奇函数，满足对称性。 接下来看单调趋势，对其求导： $y^{\prime }=2x\sin x+\left(x^2+\frac{1}{4}\right)\cos x$。 取特殊点 $x=\frac{\pi }{4}$（约等于 $0.78$）代入： $y^{\prime }(\frac{\pi }{4})=2\times \frac{\pi }{4}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\left(\frac{{\pi }^2}{16}+\frac{1}{4}\right)\times \frac{\sqrt{2}}{2}>0$。 这意味着函数在 $x=\frac{\pi }{4}$ 处是单调递增的。但观察原图象，函数在 $x=\frac{\pi }{4}$ 附近应该是单调递减的（或者已经过峰值下降），与图象趋势不符，排除 C。

对于 D 选项： 利用排除法，只能选 D。 (补充验证：$y=\frac{\sin x}{x^2+\frac{1}{4}}$ 是奇函数 $÷$ 偶函数 = 奇函数。当 $x\to +\infty$ 时，分母趋于无穷大，分子有界，整体极限趋于 $0$，这与图象在远端趋近于 $x$ 轴的表现完美吻合。)

故选 D。

✅【答案】

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D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 函数图象识别“四步曲”：

1. 定义域： 看看分母是否可能为 $0$，对数内部是否大于 $0$。（如果有断点或渐近线，快速求解）
2. 奇偶性： $f(-x)=f(x)$ 偶函数关于 $y$ 轴对称；$f(-x)=-f(x)$ 奇函数关于原点对称。（本题 A、B 就是死在这一步）
3. 单调性/极限趋势： 当 $x\to +\infty$ 时，函数是冲向 $+\infty$ 还是趋近于 $0$？（本题 C 选项随着 $x$ 增大振幅越来越大，而 D 选项趋于 $0$）
4. 特殊值/导数值： 代入 $x=1$, $x=\pi /4$ 等好算的点，看是正还是负，导数是增还是减。（本题 C 选项的致命伤）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2013-山东卷文-09 单-函数图象识别