2021-浙江卷-08 单-三角求值

本题导读

本题考查三角函数的求值与化简，以及基本不等式。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）8. 已知 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是互不相同的锐角，则在 $\sin \alpha \cos \beta ,\sin \beta \cos \gamma ,\sin \gamma \cos \alpha$ 三个值中，大于 $\frac{1}{2}$ 的个数的最大值是（ ）

A. 0$B.1$　　　　　　　C. 2$D.3$

面对这三个呈现“轮换对称”结构的代数式，直接判断单个式子的大小非常困难。遇到这种结构，最顶级的代数直觉就是**“先求和，看整体”**。 如果三个数都大于 $\frac{1}{2}$，那么它们的和必然大于 $\frac{3}{2}$。我们只需要证明这三个式子的总和不可能大于 $\frac{3}{2}$，就能排掉“3个”的选项。

• 路径一（基本不等式）： 利用 $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$ 将乘积拆成平方和，巧妙利用同角三角函数关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行抵消。

• 路径二（排序不等式）： 利用锐角范围内正弦单调增、余弦单调减的特性，运用“乱序和 $\le$ 交叉和”的原理进行放缩。

法 1：基本不等式法（最普适） 由基本不等式 $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$，对题干中的三个式子分别进行放缩：

$$\begin{array}{rl}\sin \alpha \cos \beta & \le \frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta }{2}\\ \sin \beta \cos \gamma & \le \frac{{\sin }^2\beta +{\cos }^2\gamma }{2}\\ \sin \gamma \cos \alpha & \le \frac{{\sin }^2\gamma +{\cos }^2\alpha }{2}\end{array}$$

将以上三式相加：

$$\begin{array}{rl}& \sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha \\ & \le \frac{({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+({\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta )+({\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma )}{2}\\ & =\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\end{array}$$

既然这三个数的总和最大只能等于 $\frac{3}{2}$，那么它们绝对不可能同时大于 $\frac{1}{2}$（否则和就会大于 $\frac{3}{2}$）。 因此，大于 $\frac{1}{2}$ 的个数最多只有 2 个。

构造特例验证能否取到 2 个： 取 $\alpha =\frac{\pi }{6},\beta =\frac{\pi }{3},\gamma =\frac{\pi }{4}$（满足互不相同的锐角），代入计算：

• $\sin \alpha \cos \beta =\sin \frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$
• $\sin \beta \cos \gamma =\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}>\frac{1}{2}$
• $\sin \gamma \cos \alpha =\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}>\frac{1}{2}$ 有且仅有 2 个大于 $\frac{1}{2}$，满足题意。故最大值为 2。

法 2：排序不等式法（更巧妙） 不妨设 $\alpha <\beta <\gamma$（均为锐角）， 则正弦函数单调递增：$\sin \alpha <\sin \beta <\sin \gamma$ 余弦函数单调递减：$\cos \alpha >\cos \beta >\cos \gamma$ 由排序不等式（乱序和 $\le$ 交叉和）可得： $\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha \le \sin \alpha \cos \gamma +\sin \beta \cos \beta +\sin \gamma \cos \alpha$ 对不等号右边进行化简：

$$\begin{array}{rl}& (\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma )+\sin \beta \cos \beta \\ & =\sin (\alpha +\gamma )+\frac{1}{2}\sin 2\beta \end{array}$$

因为正弦函数的最大值为 1，所以： $\sin (\alpha +\gamma )+\frac{1}{2}\sin 2\beta \le 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ 结论同法 1：总和小于等于 $\frac{3}{2}$，不可能三个都大于 $\frac{1}{2}$。再配合特例验证，最大值为 2。

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💡【考点归纳与避坑指南】

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• “轮换对称式”的求和直觉： 以后在选填题中，只要看到 $f(a,b),f(b,c),f(c,a)$ 这种“长得像一家人”的式子，并且让你判断它们的大小、取值范围或极值，第一步永远是尝试把它们加起来（或者乘起来）。这种“化零为整”的思路是破解代数压轴题的最强武器。
• 特例法的威力： 很多时候我们只能证明它“最多是2”，但不确定“能不能达到2”。这个时候随便找几个特殊的角（如 $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$）代进去算一下，只要能找出一组反例，就能直接敲定答案，比严谨的推导快得多。

📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2008-江西卷理-09
• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围