2021-浙江卷-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及多项式系数和。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）13. 已知多项式 $(x-1{)}^3+(x+1{)}^4=x^4+a_1{x}^3+a_2{x}^2+a_{3}x+a_4$，则 $a_1=$ $\underline{}$，$a_2+a_3+a_4=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空： 求 $x^3$ 项系数。利用二项式定理通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{x}^{n-r}{a}^r$，分别提取两个括号中的 $x^3$ 项再求和。
2. 第二空： 求部分系数和。直接展开虽然可行，但利用“赋值法”令 $x=1$ 得到整体系数和，再减去多余项（$x^4$ 的系数 $1$ 以及 $a_1$）是最快捷的策略。

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $a_1$

• 对于 $(x-1{)}^3$，$x^3$ 的系数为 $1$。
• 对于 $(x+1{)}^4$，$x^3$ 的系数为 $C_4^1=4$。
• 因此 $a_1=1+4=5$。

第二步：求 $a_2+a_3+a_4$ 令 $x=1$，代入原恒等式： 左边 $=(1-1{)}^3+(1+1{)}^4=16$ 右边 $=1^4+a_1\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_3\cdot 1+a_4=1+a_1+a_2+a_3+a_4$ 即 $16=1+5+(a_2+a_3+a_4)$ 解得 $a_2+a_3+a_4=10$。

✅【答案】

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$5$；$10$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 赋值法的核心： 函数式 $P(x)=\sum a_i{x}^i$ 对任意 $x$ 成立，通过赋予特殊的 $x$ 值可以快速提取系数特征。
• 细节检查： 赋值法求出的结果通常包含常数项（如 $a_4$）和最高次项系数。在填空时务必看清题目问的是“全系数和”还是“部分系数和”，防止多算或漏算最高次项系数。

在处理更复杂的 $(ax+b{)}^n$ 型题目时，赋值法有以下几种常见变体，建议熟记：

1. 求“各项系数绝对值之和”： 若要求 $|a_0|+|a_1|+\cdots +|a_n|$，通常将所有项变为正值。若展开式中正负交替（如 $(2x-1{)}^n$），则尝试令 $x=-1$ 或根据项的符号特征调整。

2. 求“奇数次项”或“偶数次项”系数和： 记 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$。

• 令 $x=1⟹f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0$

• 令 $x=-1⟹f(-1)=(-1{)}^n{a}_n+\cdots -a_1+a_0$

• 偶数次项和： $a_0+a_2+a_4+\cdots =\frac{f(1)+f(-1)}{2}$

• 奇数次项和： $a_1+a_3+a_5+\cdots =\frac{f(1)-f(-1)}{2}$

3. 利用导数求“加权系数和”： 若题目要求 $1\cdot a_1+2\cdot a_2+3\cdot a_3+\cdots +n\cdot a_n$：

• 对恒等式两边同时关于 $x$ 求导。

• 再令 $x=1$，即可得到该加权和。

4. 利用积分求“分母系数和”： 若题目要求 $a_0+\frac{1}{2}{a}_1+\frac{1}{3}{a}_2+\dots$：

• 对恒等式两边在 $[0,1]$ 区间上求定积分即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1985-全国卷理-09
• 1989-全国卷理-16 填-二项式系数和
• 2004-天津理-15 填-二项式定理