2021-甲卷文-05 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）点 $(3,0)$ 到双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为 ( ) A. $\frac{9}{5}$　　　　　　　B. $\frac{8}{5}$　　　　　　　C. $\frac{6}{5}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 根据双曲线方程求出渐近线方程。
2. 利用点到直线的距离公式计算点 $(3,0)$ 到其中一条渐近线的距离。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，可得 $a^2=16,b^2=9$，即 $a=4,b=3$。 其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $3x\pm 4y=0$。 取其中一条渐近线方程为 $3x-4y=0$。 点 $(3,0)$ 到该直线的距离为： $d=\frac{|3\times 3-4\times 0|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{9}{\sqrt{9+16}}=\frac{9}{5}$。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线、点到直线距离公式。
2. 核心方法：联立方程或代入公式直接求解。
3. 避坑指南：渐近线方程写成一般式时注意符号及系数对应，距离公式分母为 $\sqrt{A^2+B^2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：常规圆锥曲线基础考点。
2. 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点到渐近线的距离恒等于 $b$（本题中点 $(3,0)$ 恰好是右焦点 $c=\sqrt{16+9}=5$，直接利用焦点到渐近线距离公式 $d=b=3$ 不适用？注意焦点坐标为 $(5,0)$，此处给定的点是 $(3,0)$，需按常规点到直线距离计算）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-13
• 2004-全国卷IV理-21 解-直线的截距式方程与一般式方程
• 2009-上海卷理-21