2021-甲卷文-12 单-函数性质

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）设 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数，且 $f(1+x)=f(-x)$. 若 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$, 则 $f\left(\frac{5}{3}\right)=$ ( ) A. $-\frac{5}{3}$　　　　　　B. $-\frac{1}{3}$　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　D. $\frac{5}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结合奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 与已知条件 $f(1+x)=f(-x)$，推导出函数满足的递推关系式，进而得出函数的周期。
2. 利用周期性将所求自变量转化至已知条件范围内直接求解。

✅【答案】

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$f(-x)=-f(x)$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$。 由 $f(1+x)=f(-x)$ 可得： $f(1+x)=-f(x)$，即 $f(x+1)=-f(x)$。 再次变换得： $f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x)$。 因此，函数 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数。 由 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$，得： $f\left(\frac{5}{3}\right)=f\left(\frac{5}{3}-2\right)=f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的奇偶性与周期性。
2. 核心方法：由 $f(x+a)=-f(x)$ 或 $f(x+a)=f(-x)$ 迅速推导周期 $T=2a$。
3. 避坑指南：注意递推变换时的正负号，避免因符号错误导致周期判断失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数性质类经典压轴选择题。
2. 结论推广：若 $f(x+a)=-f(x)$，则 $f(x+2a)=f(x)$，即函数的周期为 $2a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 1985-全国卷理-03
• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质