2021-甲卷理-13 填-导数切线

本题导读

本题考查切线方程，以及商的求导法则。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）曲线 $y=\frac{2x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为 ________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证切点：题目明确给出是“在点 $(-1,-3)$ 处”，说明该点即为切点。将 $x=-1$ 代入原函数验证，$y=\frac{-2-1}{-1+2}=-3$，确认无误。

2. 求导数：利用分式（商）的求导法则 $[\frac{u}{v}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ 求出函数的导数 $y^{\prime }$。

3. 求切线斜率：将切点的横坐标 $x=-1$ 代入导函数，得到切线的斜率 $k$。

4. 写出切线方程：利用直线的点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 写出切线方程，并化简为一般式或斜截式。

✅【答案】

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$5x-y+2=0$ （或写成 $y=5x+2$）

✍【详细解析】

Abstract

1. 利用商的求导法则求导：

已知函数 $y=\frac{2x-1}{x+2}$．

对其求导，根据公式 $[\frac{u}{v}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$：

y' = \frac{(2x - 1)'(x + 2) - (2x - 1)(x + 2)'}{(x + 2)^2}$$$$y' = \frac{2(x + 2) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 2)^2}

展开分子：

$y^{\prime }=\frac{2x+4-2x+1}{(x+2{)}^2}=\frac{5}{(x+2{)}^2}$

2. 计算切线斜率 $k$：

切点为 $(-1,-3)$，将 $x=-1$ 代入导函数中：

$k=y^{\prime }{|}_{x=-1}=\frac{5}{(-1+2{)}^2}=\frac{5}{1^2}=5$

所以，该点处的切线斜率为 $5$．

3. 写出切线方程：

结合切点 $(-1,-3)$ 和斜率 $k=5$，由点斜式方程得：

y - (-3) = 5[x - (-1)]$$$$y + 3 = 5(x + 1)

展开并移项化为一般式：

$5x-y+5-3=0$

即：

$5x-y+2=0$

4. 结论：

答案填入 $5x-y+2=0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：求曲线的切线问题，最关键的区分是**“在某点处”与“过某点”**。“在某点处”意味着该点 100% 是切点，可以直接将其横坐标代入导函数求斜率。

• 商的求导法则记忆口诀：“上导下不导，减去上不导下导，底下平方不能少”。

• 避坑指南：

  • 符号错误：在应用商的求导法则时，分子中间是减号，展开 $-(2x-1)$ 时要特别小心负负得正变为 $+1$。

  • 方程化简：填空题写成一般式 $Ax+By+C=0$ 或斜截式 $y=kx+b$ 均可得分，但在移项时需细心检查常数项的正负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷-07
• 2014-广东卷理-10 填-切线方程
• 2015-新课标I卷文-14 填-导数切线