2022-上海卷-06 填-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组与简单线性规划问。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 已知 $\{\begin{array}{l}x-y\le 0\\ x+y-1\ge 0\end{array}$，则 $z=x+2y$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 画出可行域：将二元一次不等式组转化为对应的直线方程，并在平面直角坐标系中画出它们。根据不等号方向（$\le$ 取下/左侧或带入测试点，$\ge$ 取上/右侧），确定满足条件的公共平面区域（可行域）。

2. 分析目标函数：将目标函数 $z=x+2y$ 转化为直线的斜截式方程 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。由于 $z$ 与该直线的纵截距 $\frac{z}{2}$ 成正比，求 $z$ 的最小值即求该直线在可行域内平移时，纵截距取到最小值的点。

3. 求交点并代入：找出使目标函数取得极值的边界交点（角点），联立方程组求出该点坐标，代入目标函数求出最小值。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解析过程：

在平面直角坐标系中，作出不等式组 $\{\begin{array}{l}x-y\le 0\\ x+y-1\ge 0\end{array}$ 所表示的可行域。

• $x-y\le 0$ 表示直线 $l_1:x-y=0$ 及其左上方的区域。

• $x+y-1\ge 0$ 表示直线 $l_2:x+y-1=0$ 及其右上方的区域。

  （原题附有图象，可行域为两条射线及其夹角内部构成的无界区域）

设目标函数直线为 $l:x+2y=z$，变形可得斜截式：

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$

这是一组斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的平行直线系。当纵截距 $\frac{z}{2}$ 最小时，$z$ 取得最小值。

将直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 向可行域方向平移，观察可知，当直线刚好经过直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点 $A$ 时，其纵截距达到最小（因为可行域在此交点的右上方无限延伸，没有最大值）。

联立边界直线方程求交点 $A$ 的坐标：

$\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-1=0\end{array}$

解得：

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}$

即点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。

将点 $A$ 的坐标代入目标函数 $z=x+2y$ 中，得到最小值：

$z_{\min }=\frac{1}{2}+2\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

故答案为：$\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式/概念：

  • 线性规划的可行域绘制规则（“大于取上/右，小于取下/左”快速判断法或代入特殊点如原点 $(0,0)$ 测试法）。

  • 目标函数的最值判断方法：化为斜截式 $y=kx+\frac{z}{B}$（如果 $z=Ax+By$），根据 $B$ 的正负和纵截距的几何意义来判断最大最小值位置。

• 试题评价：本题考查了线性规划的基本知识，难点在于正确画出无界可行域，并准确判断目标函数取最小值的顶点位置。属于经典的中档题。

• 易错提醒：

  • 画图不准确导致找错交点或对平移方向判断失误。

  • 解二元一次方程组时粗心算错坐标。

  • 在平移目标函数 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$ 时，若 $y$ 的系数为负，纵截距的最大值反而对应 $z$ 的最小值，本题中 $y$ 系数为正（$2y$），故纵截距最小即为 $z$ 最小，需注意符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II理-05
• 2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值
• 2008-湖南卷文-03 单-线性规划最小值