2022-上海卷-08 填-分段函数奇偶性

本题导读

本题考查分段函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 若函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{a}^{2}x-1,& x<0\\ x+a,& x>0\\ 0,& x=0\end{array}$

为奇函数，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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本题有两种常见思路：

思路一（特值检验法，原解析思路）：利用奇函数在定义域内任意一点均满足 $f(-x)=-f(x)$ 的性质，取特殊值 $x=1$，建立方程 $f(-1)=-f(1)$ 求解参数 $a$ 的可能值。注意：特殊值求出的参数属于必要不充分条件，必须代回原函数检验！

思路二（定义恒等式法）：若 $f(x)$ 为奇函数，则对任意 $x>0$（此时 $-x<0$），都有 $f(-x)=-f(x)$ 恒成立。代入解析式比较系数即可直接锁定唯一解。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：特殊值赋值法 + 检验（原解析方法）

因为函数 $f(x)$ 为奇函数，定义域为 $\mathbb{R}$，

所以对任意 $x\in \mathbb{R}$，都有 $f(-x)=-f(x)$。

令 $x=1$，则必须满足 $f(-1)=-f(1)$。

由分段函数解析式可知：

$f(-1)=a^2(-1)-1=-a^2-1$

$f(1)=1+a$

代入等式得：$-a^2-1=-(1+a)$

整理得：$a^2-a=0$，即 $a(a-1)=0$。

解得：$a=0$ 或 $a=1$。

接下来必须进行检验：

① 当 $a=0$ 时，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ x,& x>0\end{array}$。

此时 $f(2)=2$，$f(-2)=-1$，显然 $f(-2)\ne -f(2)$，所以该函数不是奇函数，故 $a\ne 0$，舍去。

② 当 $a=1$ 时，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ x+1,& x>0\end{array}$。

对于任意 $x>0$，$-x<0$，$f(-x)=(-x)-1=-(x+1)=-f(x)$；

对于任意 $x<0$，$-x>0$，$f(-x)=(-x)+1=-(x-1)=-f(x)$；

$f(0)=0=-f(0)$ 也成立。

故当 $a=1$ 时，$f(x)$ 是奇函数，满足题意。

综上所述，$a=1$。

解法二：定义恒等式法（推荐）

因为函数 $f(x)$ 为奇函数，所以对任意 $x>0$，都有 $-x<0$ 且 $f(-x)=-f(x)$。

当 $x>0$ 时：

$f(x)=x+a$

$f(-x)=a^2(-x)-1=-a^{2}x-1$ (因为 $-x<0$，代入第一段解析式)

将两式代入 $f(-x)=-f(x)$ 中，得到：

$-a^{2}x-1=-(x+a)$

即 $-a^{2}x-1=-x-a$ 对任意 $x>0$ 恒成立。

由多项式恒等定理（对应项系数相等），可得：

$\{\begin{array}{l}-a^2=-1\\ -1=-a\end{array}$

解得 $a=1$。

故答案为：$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心规律/公式：

  1. 奇函数定义：$f(-x)=-f(x)$；偶函数定义：$f(-x)=f(x)$。

  2. 若奇函数在 $x=0$ 处有定义，则必有 $f(0)=0$。

  3. 分段函数的奇偶性判断，需要各段之间相互对称满足等式。

• 试题评价：本题考查函数的奇偶性。看似基础，但设计了一个极易出错的逻辑陷阱，属于中档题。它很好地考察了学生思维的严谨性。

• 易错提醒：

  • 缺乏检验意识（致命错误）：很多学生利用 $f(-1)=-f(1)$ 解出 $a=0$ 或 $a=1$ 后，直接将两个答案填上，或者不知道如何取舍。这是因为特殊值成立仅仅是奇函数的必要条件，而非充分条件。使用特殊值求参数，必须检验！

  • 推荐使用解法二（恒等式法），可以一次性直接锁定正确答案，避免漏检验的问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-10 单-分段函数不等式
• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质
• 1991-全国卷理-13