2022-乙卷文-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩾2,\\ x+2y⩽4,\\ y⩾0,\end{array}$ 则 $z=2x-y$ 的最大值是 () A. $-2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

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1. 画出约束条件所表示的可行域。
2. 将目标函数 $z=2x-y$ 转化为直线方程 $y=2x-z$，其截距为 $-z$。
3. 观察直线平移经过可行域的顶点时，截距取得最值，从而求出 $z$ 的最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域，边界直线分别为 $x+y=2$、$x+2y=4$ 和 $y=0$。 联立 $x+2y=4$ 与 $y=0$，得交点 $(4,0)$； 联立 $x+y=2$ 与 $y=0$，得交点 $(2,0)$； 联立 $x+y=2$ 与 $x+2y=4$，得交点 $(0,2)$。 目标函数 $z=2x-y$ 变形为 $y=2x-z$。当直线经过点 $(4,0)$ 时，截距最小，此时 $z$ 取得最大值。 代入 $(4,0)$ 得：$z_{\max }=2\times 4-0=8$。 选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：角点法（顶点检验法）。
3. 避坑指南：注意目标函数中 $y$ 的系数为负，截距最小时 $z$ 最大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考常规线性规划题。
2. 结论推广：线性目标函数在多边形可行域上的最值总在顶点取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值
• 2008-湖南卷文-03 单-线性规划最小值