2022-乙卷文-11 单-导数最值

本题导读

本题考查导数在函数求最值中的应用，以及三角函数的性质。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 函数 $f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 的最小值、最大值分别为 () A. $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}$　　　B. $-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}$　　　C. $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}+2$　　　D. $-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}+2$

🔍【思路分析】

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1. 求导数 $f^{\prime }(x)$，找出区间 $[0,2\pi ]$ 内的驻点。
2. 计算各驻点及区间端点处的函数值，比较大小得出最值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

求导得 $f^{\prime }(x)=-\sin x+[\sin x+(x+1)\cos x]=(x+1)\cos x$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，因为在 $[0,2\pi ]$ 上 $x+1>0$，所以 $\cos x=0$，解得 $x=\frac{\pi }{2}$ 或 $x=\frac{3\pi }{2}$。 计算对应点的函数值： $f(0)=\cos 0+(0+1)\sin 0+1=2$； $f(\frac{\pi }{2})=\cos \frac{\pi }{2}+(\frac{\pi }{2}+1)\sin \frac{\pi }{2}+1=\frac{\pi }{2}+2$； $f(\frac{3\pi }{2})=\cos \frac{3\pi }{2}+(\frac{3\pi }{2}+1)\sin \frac{3\pi }{2}+1=-\frac{3\pi }{2}$； $f(2\pi )=\cos (2\pi )+(2\pi +1)\sin (2\pi )+1=2$。 综上，最小值为 $-\frac{3\pi }{2}$，最大值为 $\frac{\pi }{2}+2$。 选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数求最值。
2. 核心方法：端点与极值点比较法。
3. 避坑指南：求导时注意积的求导法则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：导数与三角函数综合应用题。
2. 结论推广：含有因式相乘的三角函数导数化简技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012年陕西卷理-16
• 1990-上海卷-05 填-半角公式求值
• 1990-上海卷-15 单-半角的象限判断