2022-乙卷文-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数在函数求最值中的应用。核心在于导数法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 已知函数 $f(x)=ax-\frac{1}{x}-(a+1)\ln x$.

(1) 当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 的最大值；

(2) 若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：将 $a=0$ 代入函数，求导数并分析单调性，进而求出最大值。
2. 第(2)问：求导得到 $f^{\prime }(x)=\frac{(ax-1)(x-1)}{x^2}$，通过对参数 $a$ 的取值进行分类讨论，研究函数的单调性、极值及端点极限，从而确定恰有一个零点时 $a$ 的范围。

✅【答案】

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$a$ 的取值范围为 $(0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=0$ 时，$f(x)=-\frac{1}{x}-\ln x$，其定义域为 $(0,+\infty )$. 求导得 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x^2}$。 当 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 故当 $x=1$ 时，$f(x)$ 取得最大值，最大值为 $f(1)=-\frac{1}{1}-\ln 1=-1$。

(2) 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，其导数为 $f^{\prime }(x)=a+\frac{1}{x^2}-\frac{a+1}{x}=\frac{a{x}^2-(a+1)x+1}{x^2}=\frac{(ax-1)(x-1)}{x^2}$。 ① 当 $a=0$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{x^2}$，由(1)知 $f(x{)}_{\max }=-1<0$，故 $f(x)$ 无零点，不合题意。 ② 当 $a<0$ 时，若 $x\in (0,1)$，$f^{\prime }(x)>0$；若 $x\in (1,+\infty )$，$f^{\prime }(x)<0$， 从而 $f(x)\le f(1)=a-1<0$，故 $f(x)$ 无零点，不合题意。 ③ 当 $a>0$ 时：

• 若 $a=1$，$f^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2}{x^2}\ge 0$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。又 $f(1)=1-1-2\ln 1=0$，故 $f(x)$ 恰有一个零点 $x=1$，符合题意。
• 若 $0<a<1$ 时，极值点为 $1$ 和 $\frac{1}{a}$（此时 $1<\frac{1}{a}$）。 当 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (1,\frac{1}{a})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x\in (\frac{1}{a},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$。 $f(1)=a-1<0$，且当 $x\to 0^{+}$ 时，$f(x)\to -\infty$；当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$。 因为 $f(1)<0$ 且极小值 $f(\frac{1}{a})<0$，所以在 $(0,\frac{1}{a}]$ 上无零点，而在 $(\frac{1}{a},+\infty )$ 上单调递增且跨过 0，故恰有一个零点，符合题意。
• 若 $a>1$ 时，极值点为 $\frac{1}{a}$ 和 $1$（此时 $\frac{1}{a}<1$）。 当 $x\in (0,\frac{1}{a})$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (\frac{1}{a},1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$。 $f(\frac{1}{a})=1-a+(a+1)\ln a>0$，且当 $x\to 0^{+}$ 时，$f(x)\to -\infty$；当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$。 因为极大值 $f(1)=a-1>0$ 且极小值 $f(\frac{1}{a})>0$，函数在 $(0,\frac{1}{a})$ 上单调递增跨过 0，故恰有一个零点，符合题意。

综上所述，$a$ 的取值范围为 $(0,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数的最值、函数零点问题。
2. 核心方法：求导分析单调性、极值与端点极限结合法。
3. 避坑指南：分类讨论时需全面覆盖 $a=0$、$a<0$、$a=1$、$0<a<1$ 及 $a>1$ 的各种情况，切忌遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数与导数压轴题。
2. 结论推广：含参函数的单调区间与零点分布研究。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-14 填-函数零点
• 2009-福建卷文-11 单-函数零点估算
• 2010-上海卷文-17 单-对数方程零点区间