2022-乙卷理-23 解-不等式选讲

本题导读

本题考查基本不等式。核心在于放缩法、构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 已知 $a,b,c$ 都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$，证明：

（1）$abc⩽\frac{1}{9}$；

（2）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}⩽\frac{1}{2\sqrt{abc}}$．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（三元乘积最值）：

   • 观察已知条件 $a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2}=1$ 是“和定”的形式。

   • 观察待证结论 $abc⩽\frac{1}{9}$ 是“积”的形式。

   • 联想到三元基本不等式 $x+y+z⩾3\sqrt[3]{xyz}$，直接对已知式应用即可。

2. 第二问（分式和的放缩）：

   • 待证不等式左边是轮换对称的分式，右边包含 $\sqrt{abc}$。

   • 为了与右边建立联系，需对左边分母进行处理。利用 $b+c⩾2\sqrt{bc}$ 可以缩小分母，从而放大分式（符合 $⩽$ 的证明方向）。

   • 放缩后，分子 $a$ 与分母 $2\sqrt{bc}$ 结合，尝试凑出 $a^{3/2}$ 的形式，以便利用已知条件求和。

✅【答案】

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证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：$abc⩽\frac{1}{9}$

1. 应用三元基本不等式：

因为 $a,b,c$ 都是正数，所以 $a^{\frac{3}{2}},b^{\frac{3}{2}},c^{\frac{3}{2}}$ 也都是正数。

根据三元均值不等式 $\frac{x+y+z}{3}⩾\sqrt[3]{xyz}$：

$a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}⩾3\sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}}\cdot b^{\frac{3}{2}}\cdot c^{\frac{3}{2}}}$

2. 代入已知条件化简：

已知 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$，代入上式：

$1⩾3\sqrt[3]{(abc{)}^{\frac{3}{2}}}$

3. 求解 $abc$ 的范围：

两边除以 3：

$\frac{1}{3}⩾(abc{)}^{\frac{1}{2}}$

两边平方（因为均为正数）：

$\frac{1}{9}⩾abc$

即 $abc⩽\frac{1}{9}$．

取等条件：

当且仅当 $a^{\frac{3}{2}}=b^{\frac{3}{2}}=c^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$，即 $a=b=c=3^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ 时，等号成立．

得证．

（2）证明：$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}⩽\frac{1}{2\sqrt{abc}}$

1. 对分母应用基本不等式进行放缩：

要证 $\sum \frac{a}{b+c}⩽\dots$，我们可以尝试缩小分母来放大分数值。

对于正数 $b,c$，有 $b+c⩾2\sqrt{bc}$（当且仅当 $b=c$ 时取等号）。

因此：

$\frac{1}{b+c}⩽\frac{1}{2\sqrt{bc}}$

同理：

$\frac{1}{a+c}⩽\frac{1}{2\sqrt{ac}},\frac{1}{a+b}⩽\frac{1}{2\sqrt{ab}}$

2. 代入原式并通分构造：

将上述放缩应用到原式左边：

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}⩽\frac{a}{2\sqrt{bc}}+\frac{b}{2\sqrt{ac}}+\frac{c}{2\sqrt{ab}}$

为了构造出统一的分母 $\sqrt{abc}$，我们对每一项的分子分母同乘对应的根号：

• 第一项：$\frac{a\cdot \sqrt{a}}{2\sqrt{bc}\cdot \sqrt{a}}=\frac{a^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}$

• 第二项：$\frac{b\cdot \sqrt{b}}{2\sqrt{ac}\cdot \sqrt{b}}=\frac{b^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}$

• 第三项：$\frac{c\cdot \sqrt{c}}{2\sqrt{ab}\cdot \sqrt{c}}=\frac{c^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}$

3. 合并求和得出结论：

将上述三项相加：

$\text{左边}⩽\frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}$

代入已知条件 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$：

$\text{左边}⩽\frac{1}{2\sqrt{abc}}$

取等条件：

当且仅当 $a=b=c$ 时，所有步骤中的等号同时成立。

故原不等式得证．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 分母放缩策略：证明“小于等于”型不等式时，利用 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 将分母的和转化为积，不仅方向正确，而且能产生根号项，为后续凑出 $\sqrt{abc}$ 铺路。

  2. 指数凑配：$\frac{a}{\sqrt{bc}}=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{abc}}=\frac{a^{3/2}}{\sqrt{abc}}$ 是本题最关键的代数变形，它巧妙地连接了待证式与已知条件。

• 规律总结：涉及幂指形式（如 $3/2$ 次方）的题目，通常不需要复杂的函数求导，直接套用均值不等式往往是最优解。

• 避坑指南：在使用不等式放缩时，务必检查取等条件是否一致。本题中第一问和第二问的取等条件均为 $a=b=c$，逻辑自洽。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-21 解-递推数列三问
• 2009-江苏卷-23 解-计数与概率不等式
• 2011-重庆卷理-21