2022-北京卷-03 单-直线与圆

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及对称问题。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 若直线 $2x+y-1=0$ 是圆 $(x-a{)}^2+y^2=1$ 的一条对称轴，则 $a=($\quad\quad$)$

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

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1. 识别几何特征：题目给出了圆的标准方程以及一条作为其对称轴的直线方程。

2. 转化关键信息：圆的对称轴必然经过圆心。这是解决本题的核心几何性质。

3. 求解策略：

   • 首先，从圆的标准方程中提取出圆心的坐标。

   • 其次，利用“直线过圆心”这一性质，将圆心坐标代入直线方程。

   • 最后，解关于参数 $a$ 的方程即可得出答案。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法：几何性质结合代数代入法

1. 求圆心坐标：

   已知圆的方程为 $(x-a{)}^2+y^2=1$。

   对比圆的标准方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$。

   可以得出该圆的圆心坐标为 $C(a,0)$，半径 $r=1$（本题不需要用到半径）。

2. 应用对称性质：

   因为直线 $2x+y-1=0$ 是该圆的一条对称轴，

   根据圆的几何性质：圆的任意一条对称轴都必定经过其圆心。

   所以，圆心 $C(a,0)$ 必定在这条直线 $2x+y-1=0$ 上。

3. 代入求解参数：

   将圆心坐标 $x=a,y=0$ 代入直线方程中：

   2(a) + (0) - 1 = 0$$$$2a - 1 = 0

   解得：$a=\frac{1}{2}$。

结论：对应选项 A 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心概念提取：

   • 圆的标准方程：$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，圆心为 $(a,b)$，半径为 $r(r>0)$。提取圆心坐标时注意符号。

   • 圆的对称性：圆是轴对称图形，其所有直径所在的直线都是圆的对称轴。因此，“直线是圆的对称轴”等价于“直线经过圆心”。

2. 通法总结：处理“直线平分圆的周长/面积”、“直线是圆的对称轴”等问题时，其本质都是考查“直线过圆心”这一几何性质。通常的解题步骤是：找圆心 $\to$ 代入直线方程 $\to$ 解方程。

3. 试题评价：本题考查直线与圆的位置关系中的对称问题，重点考查了对圆的标准方程的理解和圆的几何性质的应用，属于基础且常考的题型。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2013-江苏卷-17 解-圆的方程
• 2013-四川卷文-20 解-直线与圆韦达