2022-北京卷-04 单-函数对称性

本题导读

本题考查函数的对称性，以及指数幂的运算。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷）

已知函数 $f(x)=\frac{1}{1+2^x}$，则对任意实数 $x$，有 ()

A. $f(-x)+f(x)=0$　　　　　　　　　　B. $f(-x)-f(x)=0$

C. $f(-x)+f(x)=1$　　　　　　　　　　D. $f(-x)-f(x)=\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 观察选项特征：选项都在探讨 $f(x)$ 与 $f(-x)$ 之间的和差关系，这提示我们需要先求出 $f(-x)$ 的表达式。

2. 化简 $f(-x)$：将 $-x$ 代入函数解析式后，会出现负指数幂 $2^{-x}$。利用负指数幂的性质 $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$，对其进行分子分母同乘 $2^x$ 的化简，使其分母与 $f(x)$ 的分母同构。

3. 求和/差判定：将化简后的 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 进行相加或相减，观察结果是否符合选项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法：代数直接求值化简

1. 已知函数解析式：

$f(x)=\frac{1}{1+2^x}$

2. 计算 $f(-x)$，将 $x$ 替换为 $-x$：

$f(-x)=\frac{1}{1+2^{-x}}$

3. 利用指数运算性质 $2^{-x}=\frac{1}{2^x}$，为了化简繁分数，将分子分母同时乘以 $2^x$：

$f(-x)=\frac{1\cdot 2^x}{(1+2^{-x})\cdot 2^x}=\frac{2^x}{2^x+1}$

4. 观察化简后的 $f(-x)$，其分母与 $f(x)$ 相同。将 $f(x)$ 与 $f(-x)$ 相加：

$f(x)+f(-x)=\frac{1}{1+2^x}+\frac{2^x}{2^x+1}$

5. 分母相同，分子直接相加：

$f(x)+f(-x)=\frac{1+2^x}{1+2^x}=1$

结论：等式 $f(x)+f(-x)=1$ 恒成立，对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 负指数幂化简技巧：在处理含有 $a^{-x}$ 的分式时，最常用的化简技巧就是分子分母同乘 $a^x$，这比先化为 $\frac{1}{a^x}$ 再通分要快捷和清爽得多。

2. 函数对称性的深刻内涵：

• 本题得出的结论 $f(x)+f(-x)=1$ 实际上揭示了该函数的一个重要几何性质。

• 根据中心对称的定义，若函数满足 $f(a+x)+f(a-x)=2b$（或 $f(x)+f(2a-x)=2b$），则该函数的图像关于点 $(a,b)$ 中心对称。

• 在本题中，$f(x)+f(-x)=1$ 可变形为 $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}$，这意味着函数 $y=\frac{1}{1+2^x}$ 的图像关于点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 中心对称。这是一个非常经典的“中心对称函数模型”，在高考中常与数列求和（如倒序相加法）结合考查。

3. 试题评价：本题考查了指数的运算与函数性质的应用。看似是普通的代数计算，实则蕴含了函数的对称性，属于质量很高的高考基础题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-21 解-对称性

• 2004-江苏卷-15 填-等比数列的定义与通项公式

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质