2022-北京卷-08 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式，以及二项式系数与各项系数的和。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 若 $(2x-1{)}^4=a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$，则 $a_0+a_2+a_4=($\quad\quad$)$

A. $40$　　　　　　B. $41$　　　　　　C. $-40$　　　　　　D. $-41$

🔍【思路分析】

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本题考查二项式定理展开式的系数和问题。

求特定项的系数或部分系数之和，通常有两种基本思路：

1. 通项公式法（直接计算）：利用二项展开式的通项公式 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，分别求出 $x^4$、$x^2$、$x^0$ 的系数（即 $a_4,a_2,a_0$），然后相加。适用于项数较少或所求项比较明确的情况。

2. 赋值法（整体代换）：要求偶数次项系数之和（即 $a_0+a_2+a_4+\dots$），可以分别令 $x=1$ 和 $x=-1$，得到两个关于各系数的等式，将两式相加并除以 $2$ 即可消去奇数次项系数，直接得到结果。这是解决此类系数和问题的“通法”，也是本题的最优解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：通项公式法（逐项计算）

由二项式定理的通项公式可知，$(2x-1{)}^4$ 展开式的通项为：

$T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k(2x{)}^{4-k}(-1{)}^k={\mathrm{C}}_4^k{2}^{4-k}(-1{)}^k{x}^{4-k}(k=0,1,2,3,4)$

分别令 $4-k=4,2,0$，即 $k=0,2,4$，可求得对应的系数：

• $k=0$ 时，$x^4$ 的系数 $a_4={\mathrm{C}}_4^0\cdot 2^4\cdot (-1{)}^0=1\times 16\times 1=16$

• $k=2$ 时，$x^2$ 的系数 $a_2={\mathrm{C}}_4^2\cdot 2^2\cdot (-1{)}^2=6\times 4\times 1=24$

• $k=4$ 时常数项 $a_0={\mathrm{C}}_4^4\cdot 2^0\cdot (-1{)}^4=1\times 1\times 1=1$

  因此，$a_0+a_2+a_4=1+24+16=41$。

  故选：B。

解法二：赋值法（推荐，更加高效巧妙）

已知恒等式：$(2x-1{)}^4=a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

令 $x=1$，代入原式得：

$(2\times 1-1{)}^4=a_4+a_3+a_2+a_1+a_0⟹a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1\text{— (1)}$

令 $x=-1$，代入原式得：

$[2\times (-1)-1{]}^4=a_4-a_3+a_2-a_1+a_0⟹a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=81\text{— (2)}$

将 ① 式和 ② 式相加（即 ① + ②），可消去奇数次项系数 $a_1$ 和 $a_3$：

$2(a_4+a_2+a_0)=1+81=82$

化简得：

$a_4+a_2+a_0=41$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 赋值法的核心结论：对于多项式 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$，有以下常用结论：

   • 各项系数之和：令 $x=1$，即 $f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0$

   • 交错系数之和：令 $x=-1$，即 $f(-1)=a_n-a_{n-1}+\cdots -a_1+a_0$

   • 偶数次项系数之和：$\frac{f(1)+f(-1)}{2}=a_0+a_2+a_4+\dots$

   • 奇数次项系数之和：$\frac{f(1)-f(-1)}{2}=a_1+a_3+a_5+\dots$

2. 试题评价：本题主要考查二项式定理的应用。虽然指数仅为 $4$，用通项公式法计算也不算繁琐，但命题者的核心意图是考查学生是否掌握“赋值法”求偶数次项系数之和的代数恒等变形技巧。属于经典且必拿分的基础题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-全国卷理-17