2022-北京卷-13 填-辅助角公式

本题导读

本题考查函数的零点。核心在于代数法/方程思想、公式法/辅助角公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 若函数 $f(x)=A\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的一个零点为 $\frac{\pi }{3}$，则 $A=$ $\underline{}$；$f\left(\frac{\pi }{12}\right)=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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本题包含两问，解题思路分为两步：

第一步：利用“零点”的定义，即函数图像与 $x$ 轴的交点横坐标，意味着 $f(\frac{\pi }{3})=0$。将 $x=\frac{\pi }{3}$ 代入原函数，构建关于 $A$ 的一元一次方程，解出 $A$。

第二步：将求得的 $A$ 代回原解析式，得到具体的三角函数式。观察式子特征，利用辅助角公式（提取 $\sqrt{A^2+(-\sqrt{3}{)}^2}$）将解析式化简为一个正弦型函数 $y=M\sin (x+\phi )$ 的形式。最后代入 $x=\frac{\pi }{12}$，结合诱导公式和特殊角的三角函数值即可算出结果。

✅【答案】

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$1$；$-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一空：求 $A$ 的值

因为函数 $f(x)=A\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的一个零点为 $\frac{\pi }{3}$，

所以 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=0$，即：

$A\sin \frac{\pi }{3}-\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{3}=0$

代入特殊角的三角函数值（$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$）：

$A\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=0$

两边同除以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：

$A=1$

第二空：求 $f\left(\frac{\pi }{12}\right)$ 的值

将 $A=1$ 代入原函数，得：

$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$

提取公因数 $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$，利用辅助角公式（两角差的正弦公式）进行化简：

f(x) = 2\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$$$$f(x) = 2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3} - \cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)$$$$f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

现在将 $x=\frac{\pi }{12}$ 代入化简后的解析式：

f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{3}\right)$$$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{12}\right)$$$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)

利用诱导公式 $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$ 及特殊角三角函数值 $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$：

f\left(\frac{\pi}{12}\right) = -2\sin\frac{\pi}{4}$$$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = -2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}

故答案为：$1$；$-\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

本题主要考查三角函数的零点概念、特殊角的三角函数值计算、以及利用辅助角公式化简求值，属于中档题。

考点归纳：

1. 方程思想处理零点：遇到“零点”条件，直接转化为 $f(x_0)=0$ 构建方程求解未知参数，这是通法通则。

2. 核心工具——辅助角公式：形如 $a\sin x+b\cos x$ 的式子，在高考中几乎必须第一反应是提取 $\sqrt{a^2+b^2}$ 进行化简，转化为 $A\sin (x+\phi )$ 的形式。只有化成“一角一函数”，才能进行后续的求值、求周期、求单调区间或最值。

易错点提示：

1. 辅助角公式化简时，提取系数后括号内的符号或对应角 $\phi$ 容易弄错。务必熟记两角和差展开式 $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ 逆用。

2. 计算 $f\left(\frac{\pi }{12}\right)$ 时，分数减法 $\frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{3}$ 易出现计算失误；此外处理负角时，切记正弦是奇函数，负号要提出来。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷理-04
• 2010-湖南卷文-16 解-三角恒等变换最值
• 2010-福建卷理-01