2022-天津卷-04 单-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图，以及样本容量、频率与频数的关系。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：$\text{kPa}$）的分组区间为 $[12,13)$，$[13,14)$，$[14,15)$，$[15,16)$，$[16,17]$，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为()

A. 8　　　　　　　B. 12　　　　　　　C. 16　　　　　　　D. 18

🔍【思路分析】

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解决频率分布直方图问题的核心公式是：频率 = 矩形高度 × 组距，且 频数 = 样本容量 × 频率。

1. 首先根据直方图计算出第一组和第二组的频率之和；

2. 利用“第一组与第二组共有 20 人”这一条件，求出志愿者总人数（样本容量）；

3. 计算出第三组的总人数；

4. 用第三组总人数减去没有疗效的人数，即得有疗效的人数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算各组频率

根据频率分布直方图，各组的组距均为 $1$。

• 第一组 $[12,13)$ 的频率 $P_1=0.16\times 1=0.16$；

• 第二组 $[13,14)$ 的频率 $P_2=0.24\times 1=0.24$；

• 第三组 $[14,15)$ 的频率 $P_3=0.36\times 1=0.36$。

第二步：求样本总人数

已知第一组与第二组共有 $20$ 人，其频率之和为：

$P_{1+2}=0.16+0.24=0.40$。

设志愿者总人数为 $n$，则有：

$n\times 0.40=20⟹n=\frac{20}{0.4}=50$（人）。

第三步：求第三组总人数

第三组的总人数为：

$N_3=n\times P_3=50\times 0.36=18$（人）。

第四步：计算有疗效的人数

已知第三组中没有疗效的有 $6$ 人，

则第三组中有疗效的人数为：

$18-6=12$（人）。

故选：B。

本题属于统计模块的基础应用题。考查学生观察图表获取信息的能力。题目设计的陷阱较少，只要准确读出直方图的高度并理解频率与频数的转换关系，即可快速作答。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 直方图的关键点：纵轴是“频率/组距”，而不是“频率”。但在组距为 $1$ 的情况下，数值上高度等于频率，这一点在考试中常作为简化计算的背景。

2. 频率性质：所有小矩形的面积之和必须等于 $1$。在做题时可以利用此点快速自检是否读数有误。

3. 数据转换：在处理这类问题时，通常遵循“局部频率 → 样本总量 → 目标频数”的路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-05 单-频率分布直方图
• 2016-山东卷文-3
• 2016-山东卷理-03