2022-天津卷-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） ${\left(\sqrt{x}+\frac{3}{x^2}\right)}^5$ 展开式中的常数项为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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根据二项式定理的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，先写出该二项式的通用项表达式，通过幂的运算性质将底数 $x$ 的指数合并。由于要求“常数项”，即 $x$ 的指数为 $0$ 的项，令指数部分等于 $0$ 求出 $r$ 的值，最后代入计算系数即可。

✅【答案】

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$15$

✍【详细解析】

Abstract

解题步骤：

1. 写出通项公式：

   对于二项式 ${\left(\sqrt{x}+\frac{3}{x^2}\right)}^5$，其展开式的第 $r+1$ 项为：

   $T_{r+1}=C_5^r(\sqrt{x}{)}^{5-r}\cdot {\left(\frac{3}{x^2}\right)}^r$

2. 化简指数部分：

   利用幂的运算性质 $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 和 $(a^m{)}^n=a^{mn}$：

   T_{r+1} = C_5^r \cdot x^{\frac{5-r}{2}} \cdot 3^r \cdot x^{-2r}$$$$T_{r+1} = C_5^r \cdot 3^r \cdot x^{\frac{5-r}{2} - 2r}$$$$T_{r+1} = C_5^r \cdot 3^r \cdot x^{\frac{5-5r}{2}}

3. 令指数为零求解 $r$：

   常数项要求 $x$ 的指数为 $0$：

   $\frac{5-5r}{2}=0⟹5-5r=0⟹r=1$

4. 计算结果：

   将 $r=1$ 代入通项公式中的系数部分：

   $T_2=C_5^1\cdot 3^1=5\times 3=15$

故填：$15$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 二项式通项公式的准确记忆

通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 是解决二项式定理问题的核心。

• 注意：$T_{r+1}$ 代表的是第 $r+1$ 项，而不是第 $r$ 项。

• 注意：系数部分包括组合数 $C_n^r$ 以及项中自带的常数（如本题中的 $3^r$）。

2. 指数运算的准确性

本题涉及根号（$x^{\frac{1}{2}}$）和分式（$x^{-2}$），在合并指数时极易出错。

• 建议：先统一化为指数幂形式（$x^a$），再进行加减运算。

3. 试题评价

本题考查二项式定理及展开式中的特定项求解，考查学生对二项展开式的通项掌握情况，属于高考中的基础必备题型，要求计算细致，确保不丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-05 单-二项式定理
• 2004-湖南理-15 填-二项式定理
• 2006-湖北卷理-05 单-指数幂的运算性质