2022-新高考I卷-03 单-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 在 $△ABC$ 中，点 $D$ 在边 $AB$ 上，$BD=2DA$。记 $\overrightarrow{CA}=\vec{m}$，$\overrightarrow{CD}=\vec{n}$，则 $\overrightarrow{CB}=$()

A. $3\vec{m}-2\vec{n}$　　　B. $-2\vec{m}+3\vec{n}$　　　C. $3\vec{m}+2\vec{n}$　　　D. $2\vec{m}+3\vec{n}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化比例关系：由 $BD=2DA$ 且 $D$ 在 $AB$ 上，得到向量关系 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ 或 $\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{DA}$。
2. 构造向量链：利用向量的加减法法则，将已知向量 $\vec{m},\vec{n}$ 与目标向量 $\overrightarrow{CB}$ 建立联系。

• 例如：$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$。

3. 方程思想：将 $\overrightarrow{AD}$ 进一步拆解为含 $\overrightarrow{CB}$ 的形式，通过移项合并同类项解出 $\overrightarrow{CB}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：基底代数运算法（推荐）

因为 $BD=2DA$ 且 $D$ 在 $AB$ 上， 所以 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})$。 根据向量三角形法则： $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$ 代入 $\overrightarrow{AD}$ 的表达式： $\vec{n}=\vec{m}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{CB}-\vec{m})$ $\vec{n}=\vec{m}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{3}\vec{m}$ $\vec{n}=\frac{2}{3}\vec{m}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$ 两边同时乘以 $3$： $3\vec{n}=2\vec{m}+\overrightarrow{CB}$ 解得：$\overrightarrow{CB}=3\vec{n}-2\vec{m}$。

解法二：利用共线向量结论（分点公式） 若点 $D$ 分线段 $AB$ 满足 $AD:DB=1:2$，根据分点公式，对于平面内任一点 $C$ 有： $\overrightarrow{CD}=\frac{2}{1+2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{1+2}\overrightarrow{CB}$ $\vec{n}=\frac{2}{3}\vec{m}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$ 直接移项得： $\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\vec{n}-\frac{2}{3}\vec{m}⟹\overrightarrow{CB}=3\vec{n}-2\vec{m}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分点公式的对称性：注意比例系数的交叉相乘特性。若 $\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{DB}$，则 $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{1+\lambda }\overrightarrow{CA}+\frac{\lambda }{1+\lambda }\overrightarrow{CB}$。本题中 $\lambda =1/2$（因为 $DA=1/2BD$）。
2. 方向一致性：在写出 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$ 时，务必检查 $B\to D$ 与 $D\to A$ 的方向是否在图形中完整逻辑。
3. 计算习惯：对于系数较多的向量运算，先去分母再移项可以有效避免符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若本题求的是 $\overrightarrow{AB}$，则 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=(3\vec{n}-2\vec{m})-\vec{m}=3\vec{n}-3\vec{m}=3\overrightarrow{AD}$，逻辑自洽。
• 变式思考：若 $D$ 为 $AB$ 的中点，则 $\overrightarrow{CB}$ 应该如何表示？（提示：$\vec{n}=\frac{1}{2}\vec{m}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}⟹\overrightarrow{CB}=2\vec{n}-\vec{m}$）。
• 名师寄语：向量题的本质是“走迷宫”。只要选定一条正确的路径（如 $C\to D\to A$），并把每一段都用基底标好，终点就在眼前。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2003-辽宁卷-04
• 2008-广东卷理-08
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算