2022-新高考I卷-04 单-棱台体积

本题导读

本题考查棱台的体积公式，以及数学建模与实际应用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。已知该水库水位为海拔 $148.5\text{m}$ 时，相应水面的面积为 $140.0{\text{km}}^2$；水位为海拔 $157.5\text{m}$ 时，相应水面的面积为 $180.0{\text{km}}^2$。将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 $148.5\text{m}$ 上升到 $157.5\text{m}$ 时，增加的水量约为（$\sqrt{7}\approx 2.65$）()

A. $1.0\times 10^9{\text{m}}^3$　　B. $1.2\times 10^9{\text{m}}^3$　　C. $1.4\times 10^9{\text{m}}^3$　　D. $1.6\times 10^9{\text{m}}^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别模型：题目明确指出将水库形状看作“棱台”，增加的水量即为该棱台的体积。
2. 确定参数：

• 下底面积 $S_1=140.0{\text{km}}^2$
• 上底面积 $S_2=180.0{\text{km}}^2$
• 高 $h=157.5-148.5=9.0\text{m}$

3. 单位换算：注意选项单位是 ${\text{m}}^3$，而面积单位是 ${\text{km}}^2$。建议先统一单位，或最后转换。

• $1{\text{km}}^2=10^6{\text{m}}^2$

4. 套用公式：$V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：统一单位与数据准备 高 $h=157.5-148.5=9\text{m}$。 下底面积 $S_1=140\times 10^6{\text{m}}^2$。 上底面积 $S_2=180\times 10^6{\text{m}}^2$。

第二步：代入棱台体积公式计算 $V=\frac{1}{3}\times 9\times (140\times 10^6+180\times 10^6+\sqrt{140\times 10^6\times 180\times 10^6})$ $V=3\times (320\times 10^6+\sqrt{25200}\times 10^6)$ $V=3\times (320+\sqrt{3600\times 7})\times 10^6$ $V=3\times (320+60\sqrt{7})\times 10^6$

第三步：近似值处理 代入 $\sqrt{7}\approx 2.65$： $V\approx 3\times (320+60\times 2.65)\times 10^6$ $V\approx 3\times (320+159)\times 10^6$ $V\approx 3\times 479\times 10^6$ $V\approx 1437\times 10^6=1.437\times 10^9{\text{m}}^3$。

第四步：得出结论 计算结果最接近 $1.4\times 10^9{\text{m}}^3$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公式准确性：棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$ 是本题的命门。容易记混的地方是中间项 $\sqrt{S_1{S}_2}$，不要写成 $\frac{S_1+S_2}{2}$（那是梯形中位线的逻辑）。
2. 单位换算的陷阱：在大型工程应用题中，长度、面积、体积的单位转换是高频扣分点。$1\text{km}=10^3\text{m}⟹1{\text{km}}^2=10^6{\text{m}}^2⟹1{\text{km}}^3=10^9{\text{m}}^3$。
3. 计算技巧：提取公因式 $10^6$ 和利用根式的化简（把 $25200$ 拆成 $3600\times 7$）可以显著降低直接计算大数的风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于选择题，如果记不清公式，可以尝试用“平均值”估算。底面积平均值约为 $160\times 10^6$，乘以高 $9$ 得到 $1.44\times 10^9$，与正确选项非常接近。
• 变式思考：如果题目给出的不是面积，而是对应的底面边长 $a=10,b=12$（单位忽略），则 $\sqrt{S_1{S}_2}=ab=120$。
• 名师寄语：数学文化题的壳很硬，但核很软。拨开“南水北调”的背景，它其实就是在考你一个最基本的台体体积公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-河北卷-06
• 1991-全国卷理-18
• 1994-全国卷理-07