2022-新高考I卷-15 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及函数的求导法则。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 若曲线 $y=(x+a){\text{e}}^x$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设切点坐标：设切点为 $P(x_0,y_0)$，则 $y_0=(x_0+a){\text{e}}^{x_0}$。
2. 求切线斜率：对函数求导，代入 $x_0$ 得到切线的斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$。
3. 构建切线方程：利用点斜式写出切线方程。
4. 代入已知点（原点）：将 $(0,0)$ 代入切线方程，整理出一个关于 $x_0$ 的方程。
5. 转化条件：曲线有两条过原点的切线 $⟺$ 关于 $x_0$ 的方程有两个不同的实根。
6. 利用判别式求解：对于得到的一元二次方程，令其判别式 $\Delta >0$ 即可求得 $a$ 的范围。

✅【答案】

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$(-\infty ,-4)\cup (0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导数 已知 $f(x)=(x+a){\text{e}}^x$， 利用乘法求导法则：$f^{\prime }(x)=1\cdot {\text{e}}^x+(x+a){\text{e}}^x=(x+a+1){\text{e}}^x$。

第二步：设切点并列方程 设切点坐标为 $(x_0,y_0)$，则 $y_0=(x_0+a){\text{e}}^{x_0}$。 在该点处的切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)=(x_0+a+1){\text{e}}^{x_0}$。 由于切线过原点 $(0,0)$，根据斜率公式： $k=\frac{y_0-0}{x_0-0}⟹(x_0+a+1){\text{e}}^{x_0}=\frac{(x_0+a){\text{e}}^{x_0}}{x_0}$。

第三步：化简方程 因为 ${\text{e}}^{x_0}>0$，方程两边可以约去 ${\text{e}}^{x_0}$： $x_0+a+1=\frac{x_0+a}{x_0}$ $x_0(x_0+a+1)=x_0+a$ $x_0^2+a{x}_0+x_0=x_0+a$ 整理得：$x_0^2+a{x}_0-a=0$。

第四步：判定参数范围 依题意，曲线有两条过原点的切线，即上述关于 $x_0$ 的二次方程有两个不相等的实数根。 且需注意切点不能在 $y$ 轴上（即 $x_0\ne 0$，否则斜率不存在或不符合式子），观察方程，若 $x_0=0$，则 $-a=0⟹a=0$。但若 $a=0$，方程变为 $x_0^2=0$，只有一个实根，不合题意。故只需考虑 $\Delta >0$： $\Delta =a^2-4(1)(-a)=a^2+4a>0$ $a(a+4)>0$ 解得：$a>0$ 或 $a<-4$。

故答案为：$(-\infty ,-4)\cup (0,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 切线问题的核心路径：设切点 $\to$ 求导 $\to$ 列方程。无论题目给出的是切点、斜率还是过定点，最终都要落脚到切点坐标上。
2. 区分“在”与“过”：

• “在点 $P$ 处的切线”：点 $P$ 即为切点。
• “过点 $Q$ 的切线”：点 $Q$ 不一定是切点，需要设切点再代入 $Q$。

3. 方程思想的转化：切线的条数转化为方程实根的个数，是解析几何与导数结合的常见题型，熟练掌握判别式 $\Delta$ 和一元二次方程性质是基础。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以构造函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$（当 $x\ne 0$ 时），利用导数研究 $g(x)$ 的值域与原点斜率的关系。
• 变式思考：若题目要求“有且只有一条过原点的切线”，$a$ 的值应该是多少？
  • 提示：对应 $\Delta =0$ 或方程有一个零根且另一个根不符合的情况。
• 名师寄语：解析导数大题，切点是“灵魂”。只要把切点设出来，利用“点在曲线上”和“导数等于斜率”这两个条件，剩下的就是代数运算的功底。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II理-04
• 2009-江西卷理-05
• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在